WWW.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

«Е. С. У ланова, В. Н. Забелин М ЕТОДЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО И РЕГРЕССИОННОГО А Н А Л И ЗА В АГРОМ ...»

-- [ Страница 5 ] --

изменяет знак и коэффициент при U. Сильнее всего проявляется влияние смещения на коэффициенте при Rs, что сви­ детельствует о его большой неустойчивости и тесной связи с дру­ гими переменными. Это заключение находит подтверждение в зна­ чениях коэффициентов парной корреляции, приведенных в табл. 11.1.

При k 0,5 все коэффициенты практически постоянны. Умень­ шение изменчивости коэффициентов начинает проявляться в ин­ тервале k [0,2;

0,4], поэтому стабилизирующим систему значением параметра с определенной долей субъективности выбрали ^ = 0,3.

Этому значению h соответствует уравнение гребневой регрессии = 0,041/?, + 0,070^^2 + 0,038/?з + 0,288«4 - Q,Q3«i ^ 0,249^ Свободный член в уравнении появляется из-за смещения сред­ него арифметического используемых переменных относительно нуля при применении вышеописанного метода расчета.

В отличие от уравнения (И -1), полученного классическим ме­ тодом, с коэффициентами, не поддающимися непосредственной' интепретации, в уравнении (11.2) коэффициенты, соответствуют физическим представлениям о воздействии Ri и ti на урожай;

что также подтверждается данными табл. 11.1.

Одной из главных функций регрессионных моделей является прогнозирование на свежих данных, которые не были использо­ ваны при построении моделей. Применение метода гребневой регрессии и других альтернативных методов ставит основной целью улучшение прогностических возможностей моделей.

Для сравнения таких возможностей в уравнениях, полученных классическим методом наименьщих квадратов и методом гребне­ вой регрессиии, исходная выборка из 23 лет была разбита на два временных ряда. Первый ряд, по которому строились модели, включал 19 лет, второй — для п р о в ер ь прогностических способ­ ностей моделей иа независимом м атер и але-^4 года. В качестве критерия успешности прогнозирования использовался средний квадрат ошибки прогноза. Д ля уравнения (11.1) он равен 2,21, для (11.2)— 0,96, что свидетельствует о преимуществах прогно­ зирования на независимых данных методом гребневой регрессии.

Коэффициент корреляции в уравнении (11.1) достаточно высок;

0,911. Отношение среднего квадрата ошибки прогноза на незави­ симых данных к дисперсии зависимой переменной для уравнения (11.1) равно 1,15, для гребневого уравнения (11.2)— 0,50.

Приведенный пример достаточно типичен. Использование ме­ тода гребневой регрессии при определенных условиях позволяет расширить рамки применения традиционного метода регрессион­ ного анализа, повысить точность агрометеорологических про­ гнозов.

При статистической обработке данных большое значение имеют те гипотезы и допущения, которые кладутся в основу мате­ матических моделей. На практике эти гипотезы, как правило, не выполняются точно. В большинстве случаев полагают, что малое несоответствие выдвинутым предположениям приводит к незначи­ тельным погрешностям в построенной модели. Однако это не всегда соответствует действительности. В последние годы выяс­ нилось, что многие обычно применяемые процедуры весьма чув­ ствительны к небольшим отклонениям от положенных в их основу предположений. В связи с этим была поставлена задача создания робастных методов. Широко используемый в настоящее время термин «робастный», или, что означает, устойчивый, стал весьма распространенным в последние двадцать лет, хотя его стали при­ менять еще в пятидесятые годы [37]. Под робастностью в широ­ ком смысле принято понимать малую чувствительность модели к небольшим отклонениям от принятых допущений. Наиболее полно рассмотрена робастность при отклонении распределения ие-' ременной от заданного закона, обы чно— от нормального, или га­ уссовского [35, 47]. Широкое использование нормального распре­ деления в регрессионном анализе объясняется, с, одной стороны, эффективностью оценок, полученных методом, наименьших квад­ ратов, с другой — несложностью расчета. До недавнего времени нё было необходимых высокопроизводительных ЭВМ, которые позволяли бы использовать более трудоемкие методы.

Приведем простой пример, показывающий неустойчивость ме­ тода наименьших квадратов к выбросам. Известно, что среднее арифметическое выборки xi, хг,. х„ определяется как Эта величина является эффективной оценкой, имеет наименьшую дисперсию, если величины хи хг,. Хп распределены по нормаль­ ному закону. Пусть необходимо вычислить среднее арифметиче­ ское выборки: 1, О, —0,5, — 1, 0,5, 12. Последнее число явно отли­ чается от предыдущих и является выбросом. Среднее арифмети­ ческое без учета этого числа равно нулю, с его учетом — 2, что для данной выборки — явная бессмыслица. Если в качестве сред­ него взять медиану, которая определяется взаимным расположе­ нием упорядоченных по значению наблюдений Xi, то результат - будет более реалистичным.

Чувствительность классических процедур 'к «длинным хво­ стам» распределений также очень сильно отражается на такой важной статистике, как дисперсия выборки. Выражения «устой­ чивость к распределению» и «устойчивость к выбросам» по смыслу значительно разнятся, хотя имеют одинаковое математи­ ческое выражение. Возможен такой подход к построению стати­ стических моделей, при котором сначала освобождают данные от выбросов, а затем применяют классические методы и процедуры к оставшимся данным. Однако на этом пути часто можно столк­ нуться с трудностями, так как редко удается выделить точно в ' многомерном регрессионном анализе имеющиеся аномальные наблюдения до тех пор, пока не использованы робастные методы оценки параметров [35]. Д аж е если начальный набор данных и подчинялся нормальному распределению, но был засорен выбро­ сами, то при их удалении не исключена вероятности ошибок, когда некоторая их доля останется, а не принадлежащие к вы­ бросам данные будут удалены. Таким образом ситуация может быть только ухудшена, и классическая теория, построенная на нормальном распределении, не сможет быть применена доста­ точно эффективно. Из практики известно, что процедура отбра­ ковки части данных во многом уступает робастным процедурам, которые позволяют плавно варьировать степень влияния таких выбросов — вплоть до полного'их удаления.

В связи с использованием робастных методов встают вопросы о том, как широка область применения данной статистической процедуры, устойчива ли она при отклонениях от принятых ги­ потез, и как ее построить, чтобы она была робастной. Важность этих методов определяется также и тем, что они дополняют классические статистические методы.

Не всегда исследователи достаточно точно знают, насколько хороши или плохи те методы, которые применяют в случае, когда данные не подчиняются строго выдвигаемым гипотезам. Рассмот­ рим простой и наглядный пример, поясняющий часто встречаю­ щиеся трудности в использовании классического регрессионного метода наименьших квадратов [35]..Предположим, что необхо­ димо провести прямую линию через шесть точек;

здесь возможны различные варианты (рис. 11.3). Прямая, построенная классиче­ ским методом, показана на рис. 11.3 а. Помещенная в табл. 11.2, соответствующая рис. 11.3 а ошибка этой модели 8г = уг — г по­ казывает, что нет оснований для беспокойства по поводу адек­ ватности модели, особенно, если сравнивать s;

со стандартным от­ клонением. Аномально больших 8г не наблюдается. Сомнение мо­ жет вызвать только точка 1, где 8;

достигает максимального зна­ чения. Но вполне вероятно, что линейная модель не адекватна данным и необходимо использовать более сложную модель, на­ пример, параболу (рис. 11.3s). Можно также просто отбросить точку 6, и тогда получим уравнение, представленное на рис. 11.3 6.

Совершенно ясно, что имеющиеся данные не могут удовлетворять трем таким графикам одновременно. Из-за малой ошибки урав­ нения^ можно отдать предпочтение модели, представленной на рис. 11.3 s. В действительности же модельный пример был сгене­ рирован из пяти точек, лежащих на прямой г /= —2 — х, к кото­ рым была добавлена случайная нормально распределенная ошибка с нулевым средним и стандартным отклонением, равным 0,6. Шестая точка, лежащ ая далеко от этой прямой, моделиро­ вала грубую ошибку или выброс данных. Поэтому модель на рис. 11.36 адекватна и восстанавливает зависимость почти точно.

В этом примере использована простая модель с двумя парамет Рис. 11.3. Различные варианты построения регрессионной модели при наличии резко выделяющейся точки выброса.

рами, и рис. 11.3 позволяет без труда определить и понять источ-^ ник неприятностей в точке 6, даже если соответствующие ошибки в табл. 11.2 для этого мало пригодны.

Задача значительно усложняется в случае многомерности модели. Трудность заключается в том, что выбросы невозможно выявить посредством анализа ошибок модели. Д ля их обнару­ жения необходимо найти аналитические методы определения вы­ бросов и сильно влияр)щих точек, т. е. точек в многомерном про­ странстве переменных, наиболее существенно воздействующих на вид аппроксимирующей функции. Такие точки могут быть наибо­ лее важными в выборке, и на них должно быть обращено особое Н омер.

точки внимание, хотя не всегда их использование при построении ре­ грессионной модели дает положительный результат.

К настоящему времени предложено несколько подходов к ис­ пользованию идей робастности в регрессионном анализе. Рассмот­ рим кратко наиболее распространенный метод получения так на­ зываемых М-оценок максимального правдоподобия, предложен­ ный Хьюбером [46]. М-оценки — это обобщение метода макси­ мального правдоподобия, поэтому вместо того, чтобы максимизи­ ровать логарифмическую функцию правдоподобия м'ййимизирукЬт бблеё ббщую функцию В задачах регрессионного анализа неизвестные параметры Р оцениваются так, чтобы ошибки уравнения 6;

были малы статочно произволен, поэтому могут быть получены различные значения р в зависимости от вида р. На. заданную функцию р на­ лагаются определенные условия: р должна Иметь первую и вто­ рую производные Y (8,) и Ф (е,), которые ограничены почти всюду.

Эти условия будут выполнены, если в качестве р(ес) взять вы­ пуклую почти везде непрерывную функцию.

Продифференцировав (11.3), получим, систему линейных уравнений, где Ч'’ = р', и решение которой эквивалентно минимизации (11.4) при выполнении условий, наложенных на р.

Обычно при построении робастных оценок вводят параметр масштаба s и решают систему Как правило, параметр масштаба неизвестен, и в качестве него (оценки дисперсии ошибки уравнения) рекомендуется выбирать медиану ошибок уравнения, полученную предварительно, напри­ мер, классическим методом. Константа k* выбирается, исходя из соображений неформального характера'.

Изучая «засоренные» нормально распределенные переменные, Хьюбер предложил семейство оценок, определяемых функцией р:

{h — параметр робастности), и показал некоторые оптимальные свойства оценок [48] при известном параметре s.

Выбор функций р, о и k* — важная проблема, занимавшая многих статистиков. Можно упомянуть используемые оценки Андрюса, Рамсея, Тьюки. Рей провел практическое сравнение' не­ которых видов таких функций и отдал предпочтение оценкам Хьюбера [35].

Для того чтобы оценки Хьюбера были робаСтными, необхо­ димо, чтобы при больших ошибках ег скорость роста функции р(8() была меньше скорости роста принятой в методе наимень­ ших квадратов функции График функции Хьбера приведен на рис. 11.4. Это парабола 'н а отрезке [—h, h\, продолженная далее двумя прямыми лини­ ями. Значение h,’ определяющее порог, после которого происхо­ дит уменьшение скорости роста р, является по существу парамет­ ром, определяющим степень робастности оценок метода.

Если значение параметра h достаточно велико, то получен­ ные регрессионные оценки совпадают с обычными оценками ме­ тода наименьших квадратов. Обычно значения /г подбирают, ис­ ходя из конкретных свойств исследуемых статистических совокуп­ ностей, из представлений о «критических» отклонениях от рас­ четной модели.

Минимизация (11.3) с использованием хьюберовской функции р сводится к решению системы уравнений где представить в виде где т. е. имеем нормальную систему уравнении для взвешенного ре­ грессионного метода наименьших квадратов с весом w, зависящим от Pj. Это предполагает использование итеративного взвешенного алгоритма Гаусса—Ньютона. Данный метод решения был предло­ жен Тьюки [20].

Несмотря на то что описанный выше робастный подход к ре­ грессии развит для симметрического распределения ошибок урав­ нения, Хьюбер с помощью метода Монте-Карло установил, что при практическом применении метода смещение оценок из-за не симметричности мало [48].

в агрометеорологии методы робастной регрессии не получили пока достаточного распространения, хотя выполненные с йх по­ мощью прикладные работы в других отраслях знаний дали поло­ жительные результаты и свидетельствуют о больших возможно­ стях метода.

Приведем некоторые результаты применения метода робастной регрессии при построении прогностических регрессионных моделей урожайности всех зерновых культур в областях Казахстана. Для каждой из пяти групп областей со сходными природно-климати­ ческими условиями строилось одно регрессионное уравненйё-.

Предварительно с помощью автоматических процедур были ото­ браны наиболее информативные предикторы. Исследования за­ кона распределения урожайносТй или, точнее, отклонений уро­ жайности от временного тренда показали, что он далек от нор­ мального. Здесь уместно напомнить, что в классической поста­ новке регрессионной задачи ошибки уравнения распределены по такому же закону, как и зависимая переменная. Для анализа закона распределения строились гистограммы, пробит-графики.

На рис. 9.9 и 9.10 показаны типичные гистограммы отклонений урожайности от соответствующих областных трендов в Северном и Южном Казахстане. Как упоминалось в разделе 9.4, анализ ча­ стот отклонений урожайности зерновых культур от трендов во всех пяти группах областей выявил достаточно устойчивую зако­ номерность: гистограммы распределения не являются, строго го­ воря, унимодальными. Можно отметить наличие 'двух максимумов частоты, соответствующих отрицательным и положительным от­ клонениям урожайности от трендов. Этот факт служит иллюстра­ цией необходимости осторожного использования простого' осред­ нения величин для получения «свернутой» информации о при­ родных явлениях.

Из теории следует, что при подстановке в регрессионное урав­ нение средних значений предикторов* получим среднее значение предиктанта. На основании свойств линейной комбинации можно сделать вывод, что если предиктант — отклонение урожайности от тренда — не подчиняется нормальному закону распределения, то и предикторы Не подчиняются этому закону. Следовательно, такие широко распространенные для характеристики нормально распре­ деленных переменных статистики, как среднее арифметическое и дисперсия, не всегда пригодны и могут ввести в заблуждение.

Вполне вероятно, что в Казахстане повторяемость так назы­ ваемых средних, или климатически нормальных, агрометеороло­ гических условий (которым должна соответствовать урожайность, близкая к урбвню Тренда) меньше, чем повторяемость условий, вызывающих заметное повышение или понижение средней област­ ной урожайности Ёбёх зернОвых Культур. Во всех группах обла •сТей максимум частоты йоложйтельных отклонений урожайности ОТ тренда значительно преЗвОСхоДит максимум частоты отрицатель­ ны х отклонений-. На большинстве таких гистограмм левое «крыло»

длиннее правого, что свидетельствует о более сильном влиянии неблагоприятных агрометеорологических условий на снижение урожая, чем благоприятных — на его повышение.

Устойчивость двух максимумов частоты на гистограммах го­ ворит об их неслучайном характере и отличии распределения от гауссовского закона. Это требует осторожности в применении;

известных методов проверки нормальности распределения вели­ чин, в основе которых лежит' нулевая гипотеза о нормальности распределения исходной выборки. Если даже и принять такую нулевую гипотезу и проверить нормальность распределения с по­ мощью метода, изложенного в [9], с использованием отношения:

размаха значений выборки к среднему квадратическому откло­ нению, то в двух группах областей, нулевая гипотеза отвергается при 10 %-ном уровне значимости.

Помимо проверки нормальности распределения используемых:

переменных необходимо уделять внимание выявлению данных,, резко выделяющихся по какому-либо критерию. Присутствие д аж е.

малого количества таких данных значительно влияет на получае­ мые методом наименьших квадратов коэффициенты уравнений регрессии.

Д ля всех пяти групп областей строились уравнения по выбран­ ным оптимальным предикторам. Множественные коэффициенты корреляции регрессионных уравнений, построенных обычным ме­ тодом наименьших квадратов, достаточно высокие: от 0,79 до 0,85.

На основании анализа ошибок обычных регрессионных урав­ нений и с учетом характе,рны^ особенностей агрометеорологиче­ ских данных для построения робастных моделей были выбраны;

два значения параметра й : 1,0 и 0,5. При h = \,0 незначительная доля данных (до 11 %) подвергалась (в малой степени) робасти зйрующему воздействию Данной процедуры. При /г = 0,5 эта доля существенно возрастала (18—40% ) и влияние процедуры уси­ ливалось. Отсюда следует, что уравнения с параметром робаст­ ности Л = 1 в меньшей степени отличаются от обычных уравне­ ний, чем уравнения с Л = 0,5.

Д ля проверки эффективности применения робастной регрессйй:

использовалась независимая выборка. В табл. 11.3 показано»

уменьшение средней квадратической ошибки прогноза при про­ гнозировании с помощью робастных уравнений по сравнению' Уменьшение (% ) средней квад(атической ошибки прогноза с обычными классическими уравнениями при различных значе­ По ряду наблюдений в группе областей Северного Казахстана после удаления двух лет, отнесенных к выбросам, для параметров робастности 0,8, 0,5, 0,3 были построены уравнения и на 15 % данных выборки проведена проверка на независимом материале.

Оказалось, что ошибка уменьшилась по сравнению с классиче­ ским уравнением соответственно на 9, 16 и 20 % В большинстве случаев при наличии выбросов и отклонении распределения зависимой переменной от нормального закона ис­ пользование описанного метода робастной регрессии дает поло­ жительный эффект, что особенно важно при небольшом количестве данных, когда одно-единственное «отскочившее» наблюдение может испортить регрессионную модель.

Сравнивая коэффициенты в обычном уравнении и робастном при параметре робастности /г = 0,3 для группы областей Южного Казахстана, можно увидеть, что они значительно отличаются,.друг от друга (до 24.%), а в отдельных случаях даже имеют про­ тивоположные знаки (табл. 11.4). Так, в классическое уравнение показатель влагообеспеченности июня вошел с отрицательным знаком, что не согласуется с реальным вкладом этого фактора.

Изменение знака коэффициента на прложительный в уравнении робастной регрессии свидетельствует о его более реалистичном й.адекватном отражении действительности.

.Робастный Достаточно обширные исследования показали эффективность использования метода робастной регрессии в случаях отклонения распределения предиктанта от нормального закона и при наличии выбросов. Автоматическую защиту коэффициентов регресионных моделей с помощью методов робастной регрессии рекомендуется использовать при недостатке времени, отведенного для решения задачи, и при отсутствии достаточной квалификации у прогно­ зиста.

170.

11.3. М ОДЕЛЬ ГРЕБНЕВО-РОБАСТНОЙ РЕГРЕССИИ Разработанные в последнее время альтернативные классиче­ скому методу наименьших квадратов методы позволяют получать хорошие результаты в реальных условиях эксперимента при нару­ шении той или иной основополагаюш,ей гипотезы, на которую опи­ рается классический метод. Естественно, возникает вопрос о со­ здании методов, которые смогли бы при нарушении нескольких гипотез одновременно (что бывает не редко) обладать устойчи­ выми свойствами отдельных альтернативных методов.

Полезность использования в агрометеорологических исследо­ ваниях гребневой и робастной регрессий была продемонстриро­ вана достаточно убедительно. Публикации ВМО также ратуют за широкое применение современных статистических методов, в -частности, гребневой регрессии [43]. Поэтому можно предполо­ жить, что совместное использование моделей робастной и гребне­ вой регрессии может дать наибольший эффект. Д ля этой цели нами применялись подходы, описанные ранее для гребневой и робастной регрессии. При расчетах использовался взвешенный итеративный метод' наименьших квадратов на основе алгоритма Гаусса—Ньютона [25]. Как уже указывалось, метод робастной регрессии с функцией потерь, предложенной Хьюбером, можно свести к хорошо известному взвешенному методу наименьших квадратов.

Для решения робастной задачи имеем систему нормальных уравнений где (вес W зависит от р j ).

На каждом шаге При коррелированности предикторов, т. е. столбцов матрицы X, предлагается добавлять стабилизирующую диагональную мат­ рицу \ ^ / k к матрице X'w{h, бг)Х. Это позволит сделать матрицу X'w(h, B i ) X + l ' \ / k менее вырожденной и облегчит нахождение об­ ратной матрицы.

Первоначальный выбор параметра k может осуществляться на основе анализа гребневого следа (см. раздел 11.1). Многочис­ ленные расчеты на реальных данных показали, что гребнево-ро­ бастный метод чаще других оказывался лучшим по критерию средней ошибки модели на независимых данных. Знаки регресси­ онных коэффициентов, полученные с помощью этого метода, ста­ новились физически более оправданными при Стабилизирующем систему гребневом параметре к, меньшем, Че1л при чистом методе гребневой регрессии. Для нахождения оценок методом Гаусса— НьюТоНа, как правило, достаточно четырех-пятй итераций. На чальные значения коэффициентов р, можно задавать равными нулю или единице.

Анализ главных компонент является наиболее популярным и одним из самых простых способов изучения многомерных стати­ стических совокупностей. Он находит широкое применение в ме­ теорологии, агрометеорологии, экологии и других естественных науках [1, 4, 26], где часто используется совместно с методами регрессионного анализа. Суть этого подхода состоит в замене сильйо коррелированных переменных совокупностью других пе­ ременных, являющихся линейными комбинациями исходных и по­ добранных так, чтобы между ними корреляции отсутствовали.

В этом случае при некоррелированности (ортогональности) пе­ ременных значительно упрощается расчет коэффициентов регрес. сионных моделей.

Преобразованные переменные— -главные компоненты обла­ дают еще одним важным свойством: первая компонента соответ­ ствует нап]равлению максимально возможной вариации в про­ странстве переменных, вторая — направлению максимально воз­ можной вариации в подпространстве, ортогональном первому на­ правлению и т. д.

В основе этого метода лежит отыскание собственных чисел и соответствующих собственных векторов ковариационной или кор­ реляционной матрицы переменных.

Если регрессионную модель представить в обычной форме где X — матрица, составленная из данных наблюдений за счи­ тающимися случайными переменными xi, Х2,..., Хр, то систему уравнений для главных Компонент zi, zz,.. zp, являющихся ли­ нейными комбинациями исходных переменных, можем записать в виде В матричной форме главные компоненты матрицы X задаются так:

где матрица Z есть аналог матрицы X для новых переменных Д ля отыскания главных компонент надо построить такую ортого­ нальную матрицу А, чтобы Z имела диагональную ковариацион­ ную матрицу D Найдем матрицу А, удовлетворяющую условиям Пусть значения диагональных элементов матрицы D упорядо­ чены, т. е. А ^ А ^ А ^ ными числами матрицы Х'Х, для невырожденных матриц они больще нуля..Если есть нулевые собственные числа, то матрица вырожденная.

Столбцы в матрице А называют собственными векторами, а столбцы в матрице Z = ХА, являющиеся новыми цеременными,— главными компонентами.

Общая вариация независимых переменных определяется как И отражает меру разброса точек в пространстве наблюдений. Она численно равна сумме собственных чисел матрицы Х'Х. Собст­ венные числа отражают-дисперсии главных компонент, а отноше­ ние A,i/2 К, W E ki,..., Хр/Е К представляет относительный вклад каждой компоненты в общую вариацию исходных перемен­ ных. Сумма всех вкладов равна единице.

Часто переменные Х\, х^,..., Хр выражаются в различных и не­ сопоставимых единицах измерения, поэтому трудно разделить общую вариацию на составляющие — главные компоненты.

Обычно рекомендуется предварительно стандартизировать все переменные по формуле Тогда матрица Х'Х станет матрицей коэффициентов корреляции системы независимых переменных.

В этом случае для собственных-значений выполняется условие Линейные преобразования исходных переменных, как, напри­ мер, стандартизация, приводят к различным собственным векто­ Наличие коррелированности у переменных означает, что мо ' жно меньшим количеством переменных описать значительную часть общей вариации переменных. Предполагают, что несколько первых гдавнь1 компонент (напомним, что они ранжированы по йкладу в общую вариацию) несут существенную информацию, а. компоненты с малыми значениями Я;

содержат информацион­ ный шум и поэтому ими можно пренебречь. Вместо построения регрессионного уравнения с большим числом ^исходных перемен­ ных, коррелированных между собой, и оттого имеющего ряд серь­ ёзных недостатков, строят модель с небольшим количеством ото­ бранных новых переменных— главных компонент.

Полученным главным компонентам не всегда можно придать определенный физический смысл. Однако иногда это удается сде­ лать. При построении модели ошибка коэффициента регрессии минимальна для первой главной компоненты и последовательно увеличивается для последующих компонент. Так как главные компоненты не коррелированы, то включение в уравнение новых компонент не изменяет коэффици­ енты у компонент, уже включенных в модель, что упрощает про­ ведение расчетов.

При построении регрессионной модели с использованием глав­ ных компонент удобно применить процедуру пошагового отбора переменных (см. раздел 10.2). Последовательно в уравнение вклю­ чают главные компоненты с наибольшими коэффициентами пар­ ной корреляции с зависимой переменной. Чаще всего такими пе­ ременными являются несколько первых главных компонент, несу­ щих максимум информации об изменчивости исходных перемен­ ных.

Можно дать геометрическую интерпретацию анализа главных компонент. На рис. 11.5 приведено поле точек двух переменных Xi и Х2. Надо найти такие переменные или, что то же самое, так повернуть ортогональные оси Xi и Х2, чтобы их новое направление соответствовало направлениям с мак­ симальной вариацией поля признаков. Аналогичную процедуру поворота осей осуществляют в р-мерном пространстве признаков при рассмотрении р переменных. Собственные числа при этом отражают «толщину», или вариабельность, поля точек в направ­ лении новых выбранных координатных осей.

Если при построении регрессионной модели включить в нее всё главные компоненты, то получим модель, идентичную той, ко­ торая построена по всему множеству исходных переменных. Д ля удобства использования регрессионного уравнения по главным компонентам его преобразуют в модель по исходным переменным;

, например, для трех компонент при q независимых переменных:

Пример. Строилась регрессионная модель зависимости уро­ жайности зерновых культур от агрометеорологических условий, в Уральском экономическом районе, где большие площади зани­ мают озимые культуры. Предварительным анализом были ото­ браны данные за 37 лет о сумме осадков и температуре воздуха за ноябрь и декабрь предшествующего года (соответственно ^ x i, Rxii, txi, ixii), о сумме осадков за период апрель—июнь и темпе­ ратуре воздуха в марте и апреле (соответственно R i y - y i, ini,.

h v ). Д ля учета постоянно растущего уровня земледелия в каче­ стве дополнительной переменной в модель вводился фактор вре­ мени Т. В табл. 11.5 приведена корреляционная матрица всех пе­ ременных.

^iv-v гональной с неодинаковыми элементами, поэтому прямое исполь­ зование метода наименьших квадратов неправомерно. В данном случае часто прибегают к преобразованию переменных и исполь­ зуют обычную процедуру или взвешенный метод наименьших квадратов.

-5,0^--------------------------------------------- —-----w остатков (е) регрессионных моделей тренда у р о ж а й ­ ности зерновых культур в Ц ентральночерноземном районе (а ) и тренда урож айности подсолнечника Нормальное уравнение тогда имеет вид где W — диагональная матрица, у которой на главной диагонали находятся веса, обратно пропорциональные дисперсии отклоне­ ний (ошибки).

Простым примером, иллюстрирующим необходимость примене­ ния метода взвешенной регрессии, может служить построение тренда урожайности (рис. 11.6). Во многих случаях наблюдается увеличение отклонения урожайности от уровня тренда с течением времени. На рис. 11.6 6 общий характер этих отклонений пред­ ставляет собой расширяющуюся to временем полосу, что указы­ вает на целесообразность использования взвешенного метода наи­ меньших квадратов при построении регрессионных моделей (то же и на рис. 11.6а).

Для получения оценок весов можно разбить весь временной интервал на k подинтервалов и для каждого вычислить свое зна­ чение дисперсии, а затем, построив регрессионную зависимость увеличения дисперсии отклонения от времени, задать каждому году наблюдений конкретное значение wi.

Применение взвешенного метода наименьших квадратов не ограничивается таким классическим случаем. Обычно, аппрокси­ мируя тенденцию роста урожайности прямой линией, получают среднюю динамику прироста урожайности за все годы, хотя в ряде прикладных задач большой интерес представляет характер изменений урожайности, имеющий место в последние годы.

В этом случае разумно задать годам веса таким образом, чтобы они отражали уменьщение ценности информации при ее ста­ рении.

Еще одна из важнейших областей применения взвешенного метода наименьших квадратов это — построение регрессионных моделей при наличии в данных резко отличающихся друг от друга совокупностей (групп) наблюдений. На практике не всегда воз­ можно разделить данные на достаточно крупные массивы для раздельного построения моделей. Например, при построении про­ гностических моделей урожайности одни годы — с аномально пло­ хими условиями, другие — с благоприятными. Воспользоваться только этим небольшим количеством лет для разработки регрес­ сионных моделей для каждого типа условий обычно невозможно.

Здесь уместно использовать всю имеющуюся информацию, хотя вследствие резко различающихся условий формирования урожая коэффициенты модели должны быть существенно иными. Выход из положения заключается в построении двух регрессионных мо­ делей по всем данным: в первом случае большие веса придают аномально плохим годам выборки, во втором — благоприятным годам. При практическом использовании моделей необходимо определить, к какому типу относится год составления прогноза.

Эту процедуру можно формализовать, используя методы дискри­ минантного анализа. Возможны различные варианты предложен­ ного подхода. При этом ключевым моментом является выбор весов. Одним из^озможных подходов в первом приближении мо­ жет служить выбор весов пропорционально ошибкам невзвешен­ ной регрессионной модели. Например, для модели, лучше отра­ жающей засушливые условия, можно положить веса равными Использование взвешенного метода позволяет заданием веса не только уменьшать влияние какого-либо года из набора данных, но и вовсе исключить его из анализа.

11.6. М О Д Е Л Ь С ОШ И БКАМ И В Н ЕЗА ВИ С И М Ы Х П ЕРЕМ ЕН Н Ы Х

Рассмотренные в гл. 9 оценки коэффициентов уравнения ре­ грессии были получены в предположении, что матрица X не сто хастична и детерминирована, т. е. погрешности в измерении ее элементов пренебрежимо малы. В реальной практике такие пред­ положения не всегда оправданы. Более реалистичным представ­ ляется, подход, в котором допускается наличие ошибок в матрице наблюдений. Наличие ошибок неизбежно, например, в случае, когда элементы матрицы X являются осредненными по площади значениями метеорологических величин и служат оценкой истин­ ных средних по конечному числу метеостанций.

В классической линейной регрессии оценки, полученные мето­ дом наименьших квадратов, при принятых гипотезах были несме­ щенными, эффективными в классе несмещенных оценок. В случае регрессионной модели с ошибками в независимых переменных эти свойства пропадают.

В зависимости от способа получения данных выделяют три метода оценивания параметров уравнений.

1. Связь независимой переменной с зависимой переменной опи­ сывается схемой, представленной на рис. 11.7 а. Этой схеме со­ ответствует модель (индексом «О» отмечается истинное значение параметра).

2. Эксперимент описывается схемой, представленной на рис. 11.7 6. Известны значения Xoi и Уг. Этой схеме соответствует модель (vi — ошибка измерения независимых переменных).

3. Связь между независимой и зависимой переменными опи­ сывается схемой, приведенной на рис. 11.7 в. Известны наблюдае­ мые Хг, yi. Этой схеме соответствует модель Модель 1 соответствует классической регрессионной схеме. Ме­ тоды получения оценок модели в этом случае хорошо описаны в гЛ. 8.

Модель 2 описывает так называемые активные эксперименты.

Эта схема хорошо соответствует реальным условиям при исполь­ зовании теории планирования эксперимента.

М одель пассивны х наблю дений 3 наиболее подходит д л я опи­ сан и я неконтролируем ы х воздействий внеш ней среды н а биологи­ ческий объект. В ней рассм атри ваю тся зн ачен ия ф акторов Xi, сгенерированны х природой, на которы е влияет случай ная ош ибка.

И сслед ователь н аб лю д ает не истинное зн ачение х», а ее зн ачение с погреш ностью vi. К а к и в классическом в ар и ан те регрессии,,Р и с. П.7., Схемы регрессионных моделей: классической регрессии (а ), активного эксперимента (б), пассивного эксперимента (в).

зав и си м ая п ерем ен ная н аб лю д ается со случайной ош ибкой, т. е.

известны П р едп о л агается, что истинные зн ачен ия величин Vi и хог с в я ­ зан ы ф ункциональны м соотнош ением и з-за имею щ ихся ош ибок оно переходит в т а к н азы ваем ое струк­ турное, приведенное выше.

О ц ен и вая коэф ф ициенты уравнений регрессии, необходимо принять некоторы е гипотезы о свойствах ош ибок:

1) все погреш ности имею т нулевы е средние;

2) ош ибки независим ы х переменны х не коррели рован ы м еж д у собой и имею т одинаковую дисперсионную м атрицу;

3) ош ибки зависим ой и независимой переменны х не коррели ­ рованы м еж ду собой;

4) ош ибки зависим ой переменной не коррели рован ы м еж ду со­ бой.

И сходя из этих предполож ений, оценку (Р) истинного зн ач е­ ния Р мож но получить по ф орм уле П р едп о л агается, что производны е f(x ) до третьего порядка равн ом ерн о ограничены по х.

В случае линейной регрессии О ценка Pj совп адает с оценкам и, получаем ы м и методом н аим ень­ ших расстояний из соотнош ения Д л я простоты обычно п олагаю т С = у 21^ что ещ е больш е облегчает за д а ч у р ас ч е та коэффициентов.

И м итационны е и сследования точности р асчета коэффициентов к а к линейны х, т а к и нелинейных регрессионны х уравнений, по­ строенных методами, учиты ваю щ ими наличие ош ибок в предик­ торных переменны х, п оказал и их больш ую точность по сравн е­ нию с уравнениям и, рассчиты ваем ы м и методом наименьш их квад р ато в. Б ы ло п оказано [23], что см ещ ение оценки коэф ф и ци ­ ентов регрессионного уравн ен ия зав и си т к а к от погреш ности наблю дения переменны х, т а к и от степени их коррелированности.

Н ебольш ие ош ибки в независим ы х переменны х в случае плохой обусловленности корреляционной м атрицы приводят к больш ому смещ ению оценок коэффициентов. С увеличением длины вы борки влияни е ош ибок переменны х на точность оценки п арам етров с к а ­ зы вается меньше.

Д л я п рим ера приведем резул ьтаты построения регрессионного уравн ен ия д л я группы, состоящ ей.из А лма-А тинской, Чимкент ской, Д ж ам б у л ск о й и Т ады -К урган ской областей. В качестве не­ зави си м ы х перем енны х в прогностическую м одель урож айн ости всех зерновы х культур были в зяты тем п ература воздуха за третью д е к а д у ап реля, сум м а осадков и тем п ература воздуха за вторую д е к а д у м ая, тем п ература воздуха за третью д ек ад у июня, п о к а­ зат е л ь влагообеспеченности за период с третьей д ек ад ы м а я по первую д ек ад у июня, п оказател ь влагообеспеченности в целом з а июнь, а т а к ж е сум ма осадков за зимний период, с о ктяб р я по март, и сум м а осадков за вторую и третью д екад ы апреля.

В ы щ еперечисленны е перем енны е были определены после все­ стороннего ан ал и за агром етеорологических ф акторов, влияю щ их на урож ай. П ри расчете п арам етров в модели с ош ибкам и в п ере­ менных необходимо за д а т ь оценку дисперсии ош ибок к а к н езав и ­ симых, т а к и зависим ой переменной. В первом приближ ении д и с­ персию мож но определить, исходя из данны х о точности расчетов независим ы х переменны х. О днако точно рассчитать дисперсию ош ибок каж д о й переменной трудно. Н а основании того ф ак та, что все переменные, вы бранны е д л я построения модели, были п ред­ вари тельно приведены к единичной дисперсии и нулевому сред­ нему, д л я переменны х бы ла устан овлен а од и н ак овая дисперсия ош ибки наблю дения независим ой переменной в д о л ях дисперсии.

Р асч еты велись д л я различны х уровней ош ибки независим ы х пе­ рем енны х (у^). Д л я оценки дисперсии ош ибки зависим ой п ере­ менной использовалась дисперсия ош ибки 0,368, полученная при построении обычного регрессионного уравн ен ия методом наи м ен ь­ ш их квад р ато в с тем и ж е независим ы м и переменными.

Р ассчи тан н ы е коэф ф ициенты регрессионны х уравнений п риве­ дены в табл. 11.9. В последней строке таб л и ц ы у к а зан ы средние к в ад р аты ош ибок при проверке уравнений на независим ом м а те­ мы х данны х по сравнению с обычным регрессионны м уравнением ум.еньш ается на 9 %. Такой ж е практически р езу л ьтат и при у ^ = = 0,01. Е сли перевести ош ибку из относительны х единиц в аб со­ лю тны е, то о каж ется, что средн яя кв ад р ати ч еск ая ош ибка третьей переменной по всем четы рем об ластям равн а 0,2 и 0,3 °С (соответ­ ственно при y^ = 0005 и у2 = о,01). Д л я первой переменной та ж е ош и бка составила соответственно 0,31 и 0,44 мм. Точность оценки д екадн ы х осадков-, вероятно, зан и ж ен а, а точность оценки средней декадн ой тем п ературы воздуха к аж ется вполне реальной. О тм е­ тим, что использовались м одиф ицированны е д ан ны е о сумме о са д ­ ков с ограниченной дисперсией. Если д л я каж д ого типа входящ их в регрессионное уравнение перем енны х у стан авл и вать свой уро­ вень точности, то уравн ен ия станут более адекватны м и, их п ро­ гностические возмож ности, несомненно, возрастут. З а д а в а я р а з ­ личны е сочетания ош ибок д л я однородных групп переменны х, м ож но принять гипотезу, о том, что при минимуме к в а д р а т а ош ибки уравн ен ия на «свеж их» данны х получим оценки ош ибок, близкие к истинным.

Е сли сравн и вать полученные разны м и м етодами коэф ф ициенты регрессионны х уравнений в таб л. 11.9, мож но зам етить, что отри ­ цательны й коэф ф ициент при восьмой переменной в обычном у р а в ­ нении становится п олож ительн ы м в м оделях с «ош ибкам и».

С точки зрен и я агром етеоролога, это вполне законом ерно, т а к к а к роль зап асов влаги в почве, накопленны х на н ачало весны и з а ­ висящ их главны м образом от количества зимних осадков, поло­ ж и тельна.

Коэффициенты регрессионных уравнений при различных уровнях ошибок В первы й момент вы зы вает т а к ж е сомнение наличие отри ц а­ тельного коэф ф ициента у ш естой переменной. О днако если его не вводить в уравнение, то ош ибка п рогноза на независим ой в ы ­ борке становится на 8 % больш е, чем при его учете. М ож но по­ пы таться найти разум ное объяснение таком у неож иданном у я в ­ лению. Р асс м атр и в аем ая группа областей вклю чает самую ю ж ­ ную зону К азах с тан а, где п р еоб лад ает клин озимы х культур.

В середине июня там начинается м ассовая уб орка озимы х к у л ь ­ тур, и повы ш енная влагообеспеченность м ож ет привести к поле­ ганию посевов;

чередование д ож д ей с ж ар ко й погодой способст­ вует осы панию зерн а [14]. В лагообеспеченность ж е первой декады ию ня учиты вается с полож ительны м зн аком в п о к азател е сред ней влагообеснеченности за третью д ек а д у м ая и первую д е к а д у июня.

Т аким образом, использование регрессионной модели, в кото­ рой учиты ваю т ош ибки в независим ы х переменны х, повы ш ает точность прогнозирования на независим ом м атер и ал е и д ает в о з­ мож ность оценить коэф ф ициенты уравн ен ия «физически» более

11.7. МОДЕЛЬ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ

Р азв и ти е регрессионны й методов м одели ровани я в естествен­ ных н ау ках в последние годы идет путем «усвоения» специфиче­ ских особенностей исследуем ы х явлений и объектов. О т ср авн и ­ тельно просты х моделей, в которы е в кл ад ы в али сь лиш ь некоторы е из м н ож ества возм ож ны х ф акторов, стали переходить к д о ста­ точно слож ны м м оделям, учиты ваю щ им их свойства и отнош ения.

Т ак и е м одели иногда н азы ваю т физико-статистическйми, чтобы., подчеркнуть использование априорной инф орм ации об интересую ­ щ их нас процессах и объектах.

Одним из так и х методов,_позволяю щ им вк л ад ы в ать априорную инф орм ацию в м одель яв л яется регрессия с ограничениям и на к о ­ эф фициенты. Д остаточно часто из общ их соображ ен ий и на ос­ новании накопленного опы та м одели ровани я возм ож н о за д ать некоторы е со д ер ж ател ьн ы е соотнош ения м еж д у коэф ф ициентам и модели или определить, область их изменений. Н апри м ер, пусть оп ределенны е коэф ф ициенты уравн ен ия будут больш е зад ан н ы х зн ачен ий или равн ы м еж ду собой.

В общ ем случае, если имеем обычную модель и требуется найти методом наим еньш их квад ратов ее коэф ф ици­ енты, на них н ал агаю т линейны е ограничения типа равенств где А — з а д а н н а я м атриц а коэффициентов в линейны х соотноше-ч ниях м еж ду Pj, с — известный вектор п равы х частей уравнений.

П ри зад ан и и ограничений типа равенств д л я реш ения п оставл ен ­ ной зад ач и обычно использую т метод неопределенны х м н ож и те­ л ей Л а г р а н ж а. В р езу л ьтате получаю т реш ение, удовлетворяю щ ее обеим системам в виде гд е р = (Х 'Х )-'Х 'у — обычное реш ение исходной регрессионной з а д а ч и без ограничений методом наим еньш их квад ратов.

П ри наличии простейш их ограничений на коэф ф ициенты типа неравенств Pj ^ к,, pj к, пользую тся м етодам и м атем атического п рограм м и рован ия, близко прим ы каю щ им и к регрессионному В первы е модель с ограничениями на п арам етры в агром етео­ рологии п ред лож ен а в [27] при построении уравн ен ия регрессии д л я восстановления декадн ы х сумм осадков на отдельны х стан ­ циях по данны м бли ж айш их станций на территории Л итовской П рим ер. И сследуем ы е поля сумм осадков описы вались 21 м е­ теостанцией. С читалось, что на 15 м етеостанциях данны х нет и их надо восстановить по данны м ш ести метеостанций. Д л я п ро­ верки точности такого интерполирования использовались дан ны е независим ой выборки. Д л я каж д ой из 15 м етеостанций оп р ед ел я­ лись коэф ф ициенты в линейной модели зависим ости сумм осадков на м етеостанции с «неизвестными» данны м и от данны х по шести опорным станциям. Н а коэф ф ициенты моделей было налож ен о П оставлен н ая за д а ч а явл яется зад ач ей квадрати ческого про­ грам м и рован и я с линейны ми ограничениям и на коэф ф ициенты,т и п а неравенств. О на реш ал ась методом случайного поиска м и­ ним ум а ош ибки уравнения. О дновременно д л я сравнения рассчи­ ты вались регрессионны е модели, в которы х использовались к л ас­ сические подходы. Они имели несколько отрицательны х коэф ф и ­ циентов.

Средний по 15 метеостанциям коэф ф ициент корреляции м еж ду вычисленны ми и ф актическим и сум м ам и осадков на независим ы х д ан н ы х д л я моделей классического регрессионного ан ал и за о к а ­ за л с я равны м 0,373, а д л я модели с ограничениями — 0,685. К ак видно, использование д а ж е простейш их содерж ательны х огран и ­ чений, отр аж аю щ и х априорны е знания, резко повы ш ает качество статистически х моделей.

ОСТА ТКО В И В Ы Б Р О С О В

С татистическое м оделирование п ред ставл яет собой ряд после­ д о вател ьн ы х ш агов, приближ аю щ их к «правильной» и полезной в использовании модели. Одним из неизбеж ны х этапов построе­ ния моделей яв л яется ее проверка, или вери ф и кац и я, на пригод­ ность д л я д остиж ения поставленны х целей.

Р ассм отри м ш ироко используем ы е на п ракти ке просты е при­ емы, позволяю щ ие своевременно соверш енствовать модель, ис­ п р ав л ять ее грубы е изъяны. В этом значительное место отводится наглядны м граф ическим представлениям.

П ри д етальной оценке модели необходимо п роан ал и зи ровать каж д ы й из имею щ ихся в н аборе данны х случаев (строка в м а т­ ри ц е наблю дений X и соответствую щ ее ей значение г/i), его роль и влияние на коэф ф ициенты модели. Д л я этого ш ироко исполь­ зую тся м етоды ан ал и за остатков модели. В первую очередь вы ­ ясняю т, достаточно ли м алы ош ибки и удовлетворяю т ли они общ им требован иям, п ред ъявляем ы м к модели. З а тем исследу­ ется вопрос о необходимости различны х преобразован ий при н а ­ личии особы х случаев.

А нализ регрессионны х уравнений полезен в нескольких си туа­ циях: 1) когда возм ож ны грубы е ош ибки наблю дений, вы бросы в зависим ой или независим ы х переменны х, ош ибки при записи Рис. 12.1. В озм ож ны е, наборы данных, описываемые одинаковыми д ан н ы х на маш инны е носители инф орм ации;

2) когда лин ейн ая ф орм а м одели м ож ет быть непригодна д л я описания данны х;

3) когда необходимо изменить м асш таб координатны х осей или как-то п р ео б р азо вать переменны е;

4) когда основны е гипотезы регрессионного ан ал и за не вы полняю тся и оценки п арам етров модели определены плохо.

П р а к т и к а п оказы вает, что н ар яд у с естественными ош ибкам и в данны х наблю дений очень много ош ибок бы вает и з-за неверного переноса дан ны х на маш инны е носители. Т аки е ош ибки могут быть зам аск и р о в ан ы и с трудом ул авл и ваю тся при простом про­ смотре.

П олезность исследования роли каж д ого случая в регрессион­ ном ан ал и зе проиллю стрируем просты ми модельны ми прим ерам и.

Н а рис. 12.1 п о казан ы четы ре просты е линейны е модели, имею щ ие о дин аковы е коэф ф ициенты уравн ен ия, дисперсию ош ибок и ко­ эф ф ициенты корреляции. О днако видно сразу, что описы ваемы е ими зависим ости резко отличаю тся д руг от друга. Это говорит о необходимости исследования остатков (ош ибок) уравнений, т. е. разности м еж ду н аблю даем ы м и п редсказан ны м значением зависим ой переменной в построенной регрессионной модели. Это позволит оты скать резкие отклонения, выбросы, и другие ан о м а­ лии в данны х, препятствую щ ие получению «хороших» п ар ам ет­ ров модели.

И сходя из предполож ения, что зави си м ая перем енная подчи­ н яется норм альном у зак он у распределения, считаю т, что и, а) при постоянной ди сп ерси и, б) без у чета нели ней ности м одели, в) при увели чени и ди сп ерси и, г) без учета линейного трен да.

ош ибка линейного регрессионного уравн ен ия та к ж е уд овлетворяет этому закону. Если при этом все д ан ны е наблю дений, взаим оне зависим ы и имею т постоянную дисперсию, то граф и ч еская связь остатков 8г с п редсказан ны м значением д о л ж н а п ред ставл ять при­ близительно горизонтальную полосу одинаковой ш ирины на всем ее протяж ении (рис. 12.2 а ). Если граф и к остатков н е явл яется таковы м, то, вероятно, необходимо пересмотреть структуру мо­ д ел и, ввести новы е переменные. Н екоторы е возм ож ны е варианты граф и ков п редставлены па рис. 12.2. П ри ан ал и зе зависим ости стр о ят граф и ки зависим ости остатков от п редсказан ного зн ач е­ ния, от отдельны х предикторов и д а ж е от переменны х, не- вош ед­ ш их в модель. Т акие граф ики п озволяю т вы являть наличие трен д а, вы бросов, непостоянство дисперсии ош ибок уравн ен ия и т. д.

С огласно [25], гр аф и к остатков уравнения, построенный в з а ­ висим ости от переменной, имею щ ей параболическую форму связи с предикткнтом, будет иметь общий вид, близкий к параболе.

Рис. 12.3. Линейный тренд урож айности у (а) и регрес­ сионные остатки е временного ряда урож айности (б) ози­ Н а рис. 12.3 а п о казан тренд урож айн ости озимой пш еницы в К и­ ровоградской области, аппроксим ированны й просты м линейны м уравнением. С оответствую щ ие ему ош ибки приведены на рис.

12.3 6. Ясно видно, что гр аф и к ош ибок имеет нелинейную форму, к а к на рис. 12.2 б. Это свидетельствует о том, что построенная лин ейн ая м одель не описы вает имею щ ую ся нелинейность и м о­ д ел ь н адо изменить. Б ы л а построена п ар аб о л и ч еская модель, в которой ош ибки л о ж атс я п риблизительно горизонтальной по^ лосой, к а к на рис. 12.2 а, что у к а зы в ае т на адекватность м одели на рис. 12.4 а.

С ущ ествует несколько статистических тестов д л я вы явлени я нестабильности дисперсии ош ибки уравнения. О днако наиболее просто это мож но сделать с помощью гр аф и к а зависим ости регрес­ сионных остатков от предсказан ного зн ачен ия у (см. рис. 12.2в ).

Рис. 12.4. П араболический тренд урож айности у [а) и ре­ грессионные остатки е временного р яд а урож айности (б) озимой пшеницы в Кировоградской области.

П ри наличии нестабильности дисперсии прим еняю т взвеш енны й метод наименьш их квад ратов или п реобразую т зависим ую п ере­ менную, наприм ер, 1п у, у'/^ и у~'^. П рим ером нестабильности д и с­ персии м ож ет служ ить ситуация, п о к азан н ая на рис. 11.6 а. А н а­ лиз временны х рядов урож айности п о казал, что в больш инстве случаев значительны й рост дисперсии урож айн ости отм ечается одноврем енно с повышением, ее уровня.

Г раф и ки зависим ости остатков от каж д ого предиктора, вкл ю ­ ченного в уравнение, помогаю т вы брать правильную ф ункциональ­ ную форму модели и у казы ваю т на возм ож ную необходимость вклю чения в уравн ен ие дополнительны х членов. И з теории сле­ дует, что коэф ф ициент корреляции м еж д у регрессионны ми о стат­ кам и и перем енны ми равен нулю, поэтому в такой зависим ости не д о л ж н о быть н икакого трен да. Н а гр аф и ке остатки д о л ж н ы п оп а­ д ать в горизонтальную полосу, если нет никаких особенностей в д ан н ы х и не н ар уш аю тся основны е гипотезы регрессионного а н а ­ л и за. Если гр аф и ки будут таким и, к а к на рис. 12.2 б, в, то это у к а зы в ае т на нестабильность дисперсии ош ибки и требуется пре Рис. 12.5. Выделение временного тренда урожайности (у) всех зерновых культур в Баш кирии с помощью ана­ тр ен д а в регрессионны х ош и бках свидетельствует о необходим о­ сти соответствующ его,, изменения независим ости переменной или об отсутствии в м одели сущ ественного ф актора.

Г раф и ки остатков позволяю т в ы явл ять временной тренд пре­ д и к тан та. Е сли т а к а я д етерм ин и рованн ая составл яю щ ая имеет место, то, вы страи вая регрессионны е остатки в соответствии -С временной п оследовательностью, ее мож но обнаруж ить.

Зыло 'построено регрессионное уравн ен ие д л я прогноза сред­ ней областной урож айн ости всех зерновы х культур в Б аш ки рской А С С Р. П ять введенны х предикторов обеспечили м нож ественны й коэф ф ициент корреляции уравн ен ия — 0,71. Регрессионны е остатки, вы строенны е во временной последовательности (рис. 12.5), свидетельствую т о наличии трен да урож айности я р о ­ вой пш еницы и необходимости его учета в регрессионной модели.

Е щ е одним полезны м видом граф и ков д л я вы явлени я формы регрессионной модели яв л яется т а к н азы ваем ы й гр аф и к частич­ жению или Э то ош ибки уравнения, из которого исклю чена перем енная Xj.

t ед. дисперсии 0, -0, -1,50^ Г р аф и к зависим ости е* от Xj позволяет вы явить зависим ость у от Xj после уд ал ен и я влияни я всех остальны х предикторов, вклю ченны х в модель. Прош,е говоря, это зависим ость остатков уравн ен ия от новых переменных. Т акие граф и ки полезны к а к при вы явлении формы зависим ости, т а к и при определении необходи­ мости вклю чения дополнительны х перем енны х в м одель и н д и ка­ ции наличия выбросов. Одним полезным свойством частичны х остатков яв л яется тот ф акт, что угол н акл он а граф и ка (при стан ­ дар ти зо ван н ы х переменны х) равен |3 /— коэф ф ициенту при х/ в модели, где эта перем енная не у д ал ен а:

Н а рис. 12.6 п оказан гр аф и к частичны х остатков в зави си м о­ сти от п о к аза тел я условий вегетации в об ластях С еверного К а ­ зах с т ан а (К устанайской, К окчетавской, Северо^^Казахстанской) в ию ле после устранения влияния у ж е вклю ченны х в регрессион­ ную модель осадков з а холодны й период и май, а т ак ж е п о к аза­ телей условий роста и разви ти я посевов всех зерновы х культур в июне. Г р аф и к п оказы вает четко вы раж енную линейную связь, д а ж е без вклю чения последнего ф актора в м одель коэф ф ициент м нож ественной корреляции равен 0,75. Д л я улучш ения модели в нее необходимо вклю чить п о к азател ь условий вегетации ию ля.

Рис. 12.7. Зависимость истинного значения предиктанта у от предска­ занного у по регрессионному уравне нию в Ю жном Казахстане.

П ри ан ал и зе окончательно подобранной м одели необходимо убедиться, хорош о ли у п ри б л и ж ает у и есть ли необходимость п одвергать у различны м тран сф орм ац и ям, наприм ер, К окса-Б окса.

1, 1, Н а рис. 12.7 п р ед ставл ен а зависим ость ф актической у р о ж ай н о ­ сти у от п р едсказан ной по м одели всех зерновы х культур в Ю ж ­ ном К азах стан е. Здесь связь линейная, дополнительны х п р ео б р а­ зо ван ий у д ел ать не надо. Н а рис. 12.8 п о к азан а ан ал оги чн ая связь д л я областей С еверного К азах с тан а, где отм ечается нели­ нейность и ж ел ател ь н а тран сф орм ац ия н редиктан та.

П ри построении м ногоф акторны х регрессионны х уравнений, отр аж аю щ и х связь агром етеорологических условий и у рож ай н о­ сти сельскохозяйственны х культур, использование граф ического а н ал и за остатков яв л яется н аи более простым и достаточно инф ор­ мативны м способом проверки адекватности построенной модели.

Д овольно часто мож но ограничиться их качественны м анализом без прим енения статистических критериев. Т акой подход в по­ следние годы получил щ ирокое распространение в связи с воз­ м ож ностью построения разн ооб разн ы х граф и ков с помощью ЭВМ.

В последнее врем я при построении статистических моделей и интерпретации данны х все больш е вним ания уд ел яется «плохим», «отскакиваю щ им », не укл ад ы ваю щ и м ся в задан н ую структуру данны м наблю дений, или, к а к их часто н азы ваю т, вы бросам. Ч то д ел ать в этом случае? Одни и сследователи предпочитаю т не «обес­ ц енивать» вы борку отбрасы ванием таких данны х, другие, н ап ро­ тив, считаю т необходимы м их у д ал ять из исследуемой статисти ­ ческой совокупности при первы х ж е подозрениях. П онятие вы ­ броса в данны х исследуется в статистике очень давно. Е щ е Б е р ­ нулли у к азы в ал на необходимость тщ ательного рассм отрения по­ добны х явлений в практической деятельности [36].

Н едостаточность коэф ф ициента корреляц ии R д л я отраж ен и я свойств регрессионного уравнения, которы й не всегда точно п ред ­ ставл я ет степень взаим озависим ости ф акторов, не о тр аж ает имею ­ щ иеся в данны х грубы е ош ибки и несоответствия, п ривела к по­ явлению больш ого количества процедур, н ап равлен ны х на в ы я в ­ ление подобным образом вы деляю щ ихся данны х. К ним м ож но отнести к а к ан ал и з граф и ков регрессионны х остатков, т а к и а н а ­ л и з вы бросов [5].

П омимо ан ал и за остатков был предлож ен подход к вы д ел е­ нию имею щ ихся в регрессионны х остатках вы бросов с помощ ью различны х показателей.

Ч тобы проверить влияние таких вы деляю щ ихся из всех д а н ­ ных точек пространств переменны х на статическую модель, м о­ ж н о после их удален и я построить модель ещ е раз и рассм отреть, к а к изм еняю тся ее п ар ам етр ы и прогностические возм ож ности.

Если использовать д л я вы явлени я выбросов, особенно при боль­ шом числе данны х, одновременно д ве статистики — и V (e i) — то за д а ч а становится достаточно непростой.

Д л я преодоления этой трудности в [39] п редлож ен а легко и нтерпретируем ая мера аном альности наблю дений регрессионной модели, которая явл яется функцией от обеих статистик: 8j и К (8,).

в ает с я в виде К овариационную м атриц у вектора разн ости е и откл и ка у м ож но зап и сать так:

П о теории, в основе которой л еж и т полож ение о норм ально­ сти р аспределени я переменны х, (1 — а ) • 100 % -ный д овери тель­ ный эллипсоид д л я р* (оценки вектора коэф ф ициентов Р) д олж ен уд овлетворять неравенству /^-распределение со степенями свободы р и п — р.

В полн е разу м н о д л я определения степени влияния /-й точки д ан н ы х н а р вы числить оценки § после удален и я этой точки.

Е сли обозначить оценки коэф ф ициентов наименьш их квад ратов при условии, что в выбор'ке нет t-й точки, то удобно в ы р а ж ать расстоян и е м еж д у разли чн ы м и оценкам и р в виде (12.1). Д а н н а я ф о рм ула б ы ла п р ед лож ен а К уком в качестве меры аном альности одного сл у ч ая вы борки:

J D i ) — обеспечивает вероятностную интерпретацию расхож ден ия оц ен ок при определенном зад ан н ом уровне значим ости. Н а п р и ­ мер, если полож ить, что D i распределено приблизительно к а к F I p ;

h — р;

0,5 ), то уд ал ен и е г-й точки приводит к смещ ению оценки, полученной методом наим еньш их квад ратов, на границу 50 %-ной доверительной области, если з а оценку р принять Е сли в м одель входят только д ве переменны е, мож но нанести на двум ерны й гр аф и к зн ачен ия рассчитанны х переменны х и опре­ делить влияние каж д о го случая на коэффициент. В еличина Di приним ает только п олож ительны е значения. Б ольш ое значение у к а зы в ае т на сильно влияю щ ий случай. В удобной д л я расчетов ф орм е расстоян и е К ука мож но зап и сать так:

в такой интерпретации D i и зм еряет изменения прогностиче ского зн ачен ия у при отбрасы ван ии одной п ары наблю дений.

М ож но рассчитать D, по ф орм уле (12.2), куда н аряд у с ош иб­ кой в г-м независим ом случае ( е р, входит п олезн ая статистика — расстоян и е М ахалан об и са { M i ) :

Р ассто ян и е М ахалан об и са п оказы вает, насколько каж д ы й слу­ чай или точка в р-м ерном пространстве независим ы х переменны х отклон яется от центра статистической совокупности. Оно рассчи­ ты вается по ф ормуле и ш ироко используется д л я обнаруж ен и я вы бросов при ан ал и зе многомерны х норм ально распределенны х переменны х, в д искри ­ минантном ан али зе. Здесь величина (X 'X )~ i яв л яется ко р р е л я­ ционной матрицей, х — вектором средних значений.

С ущ ествую т различны е модиф икации статистики расстоян и я К ука [39].



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |
 




Похожие материалы:

«V bt J, / ' • r лАвНбЕ У П РА В Л Е Н И Е Г И Д Р О М Е Т Е О Р О Л О Г И Ч Е С К О Й С ЛУ Ж БЫ П Р И СОВЕТЕ М И Н И С ТРО В СССР Ц Е Н Т Р А Л Ь Н Ы Й И Н С Т И Т У Т П РО Г Н О З О В с. У Л А Н О В А Е. Применение математической статистики в агрометеорологии для нахождения уравнений связей сч БИБЛИОТЕК А Ленинградского Г идрометеоролог.ческого Ии^с,титута_ Г И Д РО М Е Т Е О РО Л О Г И Ч Е С К О Е И ЗД А Т Е Л Ь С Т В О (О Т Д Е Л Е Н И Е ) М осква — УДК 630:551.509. АННОТАЦИЯ В книге в ...»

«ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА РОССИИ ПО ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИИ И МОНИТОРИНГУ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ ГЛАВНАЯ ГЕОФИЗИЧЕСКАЯ ОБСЕРВАТОРИЯ им. А. И. ВОЕЙКОВА Е. Н. Романова, Е. О. Гобарова, Е. Л. Жильцова МЕТОДЫ МЕЗО- И МИКРОКЛИМАТИЧЕСКОГО РАЙОНИРОВАНИЯ ДЛЯ ЦЕЛЕЙ ОПТИМИЗАЦИИ РАЗМЕЩЕНИЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ КУЛЬТУР С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕХНОЛОГИИ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО РАСЧЕТА Санкт -Петербург ГИДРОМЕТЕОИЗДАТ 2003 УДК 551.58 Данная книга посвящена методам мезо- и микроклиматического райониро вания на основе новых ...»

«В. Г. Бешенцев В. И. Завершинский Ю. Я. Козлов В. Г. Семенов А. В. Шалагин Именной справочник казаков Оренбургского казачьего войска, награжденных государственными наградами Российской империи Первый военный отдел Челябинск, 2012 Именной справочник казаков ОКВ, награжденных государственными наградами Российской империи. Первый отдел УДК 63.3 (2)-28-8Я2 ББК 94(47) (035) И51 На полях колхозных, после вспашки, На отвалах дёрна и земли, Мы частенько находили шашки И покорно в кузницу несли… Был ...»

«С.Н. ЛЯПУСТИН П.В. ФОМЕНКО А.Л. ВАЙСМАН Незаконный оборот видов диких животных и дикорастущих растений на Дальнем Востоке России Информационно-аналитический обзор Владивосток 2005 ББК 67.628.111.1(255) Л68 Оглавление Предисловие 5 Ляпустин С.Н., Фоменко П.В., Вайсман А.Л. Незаконный оборот животных и растений, попадающих под требова Л98 Незаконный оборот видов диких животных и дикорастущих расте- ния Международной конвенции по торговле видами фауны и флоры, ний на Дальнем Востоке России. ...»

«НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ ЛИТЕРАТУРА Серия Из истории мировой культуры Л. С. Ильинская ЛЕГЕНДЫ И АРХЕОЛОГИЯ Древнейшее Средиземноморье Ответственный редактор доктор исторических наук И. С. СВЕНЦИЦКАЯ МОСКВА НАУКА 1988 доктор исторических наук Л. П. МАРИНОВИЧ кандидат исторических наук Г. Т. ЗАЛЮБОВИНА Ильинская Л. С. И 46 Легенды и археология. Древнейшее Средиземно­ морье / М., 1988. 176 с. с пл. Серия Из истории мировой культуры. ISBN 5 -0 2 -0 0 8 9 9 1 -5 В книге рассказано не только о подвигах, ...»

«ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ ЭТИКА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОРНО-АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра геоэкологии и природопользования И. А. Ильиных Экологическая этика Учебное пособие Горно-Алтайск, 2009 2 Печатается по решению методического совета Горно-Алтайского госуниверситета ББК – 20.1+87.75 Авторский знак – И 46 Ильиных И.А. Экологическая этика : учебное пособие. – Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2009. – ...»

«ЗАПОВЕДНИК ЯГОРЛЫК ПЛАН РЕКОНСТРУКЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ КАК ПУТЬ СОХРАНЕНИЯ БИОЛОГИЧЕСКОГО РАЗНООБРАЗИЯ Eco-TIRAS Дубоссары – 2011 ЗАПОВЕДНИК ЯГОРЛЫК ПЛАН РЕКОНСТРУКЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ КАК ПУТЬ СОХРАНЕНИЯ БИОЛОГИЧЕСКОГО РАЗНООБРАЗИЯ Eco-TIRAS Дубоссары – 2011 CZU: 502.7 З 33 Descrierea CIP a Camerei Naionale a Crii Заповедник Ягорлык. План реконструкции и управления как путь сохранения биологического разнообразия / Международная экол. ассоциация хранителей реки „Eco-TIRAS”. ; науч. ред. Г. А. Шабановa. ...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УФИМСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Институт геологии Башкирский государственный аграрный университет Р.Ф. Абдрахманов ГИДРОГЕОЭКОЛОГИЯ БАШКОРТОСТАНА Уфа — 2005 УДК 556.3 (470.57) АБДРАХМАНОВ Р.Ф. ГИДРОГЕОЭКОЛОГИЯ БАШКОРТОСТАНА. Уфа: Информреклама, 2005. 344 с. ISBN В монографии анализируются результаты эколого гидрогеологичес ких исследований, ориентированных на охрану и рациональное ис пользование подземных вод в районах деятельности нефтедобывающих, горнодобывающих, ...»

«Дуглас Адамс Путеводитель вольного путешественника по Галактике Книга V. В основном безобидны пер. Степан М. Печкин, 2008 Издание Трансперсонального Института Человека Печкина Mostly Harmless, © 1992 by Serious Productions Translation © Stepan M. Pechkin, 2008 (p) Pechkin Production Initiatives, 1998-2008 Редакция 4 дата печати 14.6.2010 (p) 1996 by Wings Books, a division of Random House Value Publishing, Inc., 201 East 50th St., by arrangement with Harmony Books, a division of Crown ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Костромской государственный технологический университет Костромское научное общество по изучению местного края В.В. Шутов, К.А. Миронов, М.М. Лапшин ГРИБЫ РУССКОГО ЛЕСА Кострома КГТУ 2011 2 УДК 630.28:631.82 Рецензенты: Филиал ФГУ ВНИИЛМ Центрально-Европейская лесная опытная станция; С.А. Бородий – доктор сельскохозяйственных наук, профессор, декан факультета агробизнеса Костромской государственной сельскохозяйственной академии Рекомендовано ...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КОЛЬСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Полярно-альпийский ботанический сад-институт им. Н. А. Аврорина О.Б. Гонтарь, В.К. Жиров, Л.А. Казаков, Е.А. Святковская, Н.Н. Тростенюк ЗЕЛЕНОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО В ГОРОДАХ МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ АПАТИТЫ 2010 RUSSION ACADEMY OF SCIENCES KOLA SCIENCE CENTRE N.A. Avrorin’s Polar Alpine Botanical Garden and Institute O.B. Gontar, V.K. Zhirov, L.A. Kazakov, E. A. Svyatkovskaya, N.N. Trostenyuk GREEN BUILDING IN MURMANSK REGION Apatity Печатается по ...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ОТДЕЛЕНИЕ БИОЛОГИЧЕСКИХ НАУК ГОРНЫЙ БОТАНИЧЕСКИЙ САД РОЛЬ БОТАНИЧЕСКИХ САДОВ В ИЗУЧЕНИИ И СОХРАНЕНИИ ГЕНЕТИЧЕСКИХ РЕСУРСОВ ПРИРОДНОЙ И КУЛЬТУРНОЙ ФЛОРЫ Материалы Всероссийской научной конференции 1-5 октября 2013 г. Махачкала 2013 1 Материалы Всероссийской научной конференции УДК 58.006 Ответственный редактор: Садыкова Г.А. Материалы Всероссийской научной конференции Роль ботанических садов в изучении и сохранении генетических ресурсов природной и куль турной флоры, ...»

«Зоны, свободные от ГМО Экологический клуб Эремурус Альянс СНГ За биобезопасность Москва, 2007 Главный редактор: В.Б. Копейкина Авторы: В.Б. Копейкина (глава 1, 3, 4) А.Л. Кочинева (глава 1, 2, 4) Т.Ю. Саксина (глава 4) Перевод материалов: А.Л. Кочинева, Е.М. Крупеня, В.Б. Тихонов, Корректор: Т.Ю. Саксина Верстка и дизайн: Д.Н. Копейкин Фотографии: С. Чубаров, Yvonne Baskin Зоны, свободные от ГМО/Под ред. В.Б. Копейкиной. М. ГЕОС. 2007 – 106 с. В книге рассматриваются вопросы истории, ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО Тамбовский государственный технический университет В.П. КАПУСТИН, Ю.Е. ГЛАЗКОВ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЕ МАШИНЫ НАСТРОЙКА И РЕГУЛИРОВКА Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по агроинженерному образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению Агроинженерия Тамбов Издательство ТГТУ 2010 УДК 631.3.(075.8) ББК ПО 72-082я73-1 К207 Рецензенты: Доктор ...»

«Н.Ф. ГЛАДЫШЕВ, Т.В. ГЛАДЫШЕВА, Д.Г. ЛЕМЕШЕВА, Б.В. ПУТИН, С.Б. ПУТИН, С.И. ДВОРЕЦКИЙ ПЕРОКСИДНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ КАЛЬЦИЯ СИНТЕЗ • СВОЙСТВА • ПРИМЕНЕНИЕ Москва, 2013 1 УДК 546.41-39 ББК Г243 П27 Рецензенты: Доктор технических наук, профессор, заместитель директора по научной работе ИХФ РАН А.В. Рощин Доктор химических наук, профессор, заведующий кафедрой общей и неорганической химии ФГБОУ ВПО Воронежский государственный университет В.Н. Семенов Гладышев Н.Ф., Гладышева Т.В., Лемешева Д.Г., Путин ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Тихоокеанский государственный университет Дальневосточный государственный университет О. М. Морина, А.М. Дербенцева, В.А. Морин НАУКИ О ГЕОСФЕРАХ Учебное пособие Владивосток Издательство Дальневосточного университета 2008 2 УДК 551 (075) ББК 26 М 79 Научный редактор Л.Т. Крупская, д.б.н., профессор Рецензенты А.С. Федоровский, д.г.н., профессор В.И. Голов, д.б.н., гл. науч. сотрудник М 79 Морина О.М., ...»

«ГРАНТ БРФФИ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ОО БЕЛОРУССКОЕ ГЕОГРАФИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО БЕЛОРУССКИЙ РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ФОНД ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЛАНДШАФТОВЕДЕНИЯ И ГЕОЭКОЛОГИИ (к 100-летию со дня рождения профессора В.А. Дементьева) МАТЕРИАЛЫ IV Международной научной конференции 14 – 17 октября 2008 г. Минск 2008 УДК 504 ББК 20.1 Т338 Редакционная коллегия: доктор географических наук, профессор И.И. Пирожник доктор географических наук, ...»

«Санкт-Петербургский государственный университет Биолого-почвенный факультет Кафедра геоботаники и экологии растений РАЗВИТИЕ ГЕОБОТАНИКИ: ИСТОРИЯ И СОВРЕМЕННОСТЬ Материалы Всероссийской конференции, посвященной 80-летию кафедры геоботаники и экологии растений Санкт-Петербургского (Ленинградского) государственного университета и юбилейным датам ее преподавателей (Санкт-Петербург, 31 января – 2 февраля 2011 г.) Санкт-Петербург 2011 УДК 58.009 Развитие геоботаники: история и современность: сборник ...»

«ФЮ. ГЕАЬЦЕР СИМТО СИМБИОЗ С МИКРООРГАНИЗМАМИ- С МИКРООРГАНИЗМАМИ ОСНОВА ЖИЗНИ РАСТЕНИЙ РАСТЕНИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО МСХА ИЗДАТЕЛЬСТВО МСХА МОСКВА 1990 МОСКВА 1990 Ф. Ю. ГЕЛЬЦЕР СИМБИОЗ С МИКРООРГАНИЗМАМИ — ОСНОВА Ж И З Н И Р А С Т Е Н И И ИЗДАТЕЛЬСТВО МСХА МОСКВА 1990 Б Б К 28.081.3 Г 32 УДК 581.557 : 631.8 : 632.938.2 Гельцер Ф. Ю. Симбиоз с микроорганизмами — основа жизни рас­ тении.—М.: Изд-во МСХА, 1990, с. 134. 15В\Ы 5—7230—0037—3 Рассмотрены история изучения симбиотрофного существования рас­ ...»






 
© 2013 www.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.