WWW.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

«Е. С. У ланова, В. Н. Забелин М ЕТОДЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО И РЕГРЕССИОННОГО А Н А Л И ЗА В АГРОМ ...»

-- [ Страница 2 ] --

Д а л е е вы числяем X ^ху'^ и 2 тух'^, беря у ' и х'\ в условных единицах. Зн ачен ие 2 f^v^'y Для каж д ого горизонтального столбца рассчиты вается 1сак ал геб раи ч еск ая сум м а из п роизведе­ ний каж д о го числа частот т на соответствую щ ее ему значение х ' в условны х единицах. Н априм ер,,в первом горизонтальном столбце с частотам и [ т) имеется одно значение частоты, р а в ­ ное 1. У м нож аем его на х ', равн ое — 3, и зап и сы ваем полученное зн ачение —3 в первую строку граф ы Yjt^yx'^. Во втором гори ­ зонтальном столбце с частотам и значение т — 1 ум н ож аем на х' = — 4, получаем — 4. З атем второе значение частоты в этом ж е горизонтальном столбце m = 6 ум н ож аем на х' = — 3, получаем — 18. С кл ад ы ваем — 4 и —^18. Сумму, равную —22, записы ваем столбце частоту m = 5 ум н ож аем в а х' = — 3, получаем — 15;

з а ­ тем т — 9 ум н ож аем на х ' = — 2, получаем — 18. С клад ы ваем — и — 18, получаем сумму — 33, которую зап и сы ваем в третью Зн ач ен и е 2 Пху'х д л я каж д ого вертикального столбца рассчи, ты вается к а к ал геб р аи ч еск ая сум м а (с учетом зн а к а ) из п роиз­ ведений к аж д ого числа частот т на соответствую щ ее ему зн ач е­ ние у ' в условны х единицах. Н априм ер, в. первом вертикальном столбц е частоту т = 1 ум н ож аем на у ' = — 2, получаем — 2 и зап и ­ сы ваем в гр аф у fnxy'^ данного столбца. Во втором в ер ти кал ь­ ном столбце ум н ож аем 1- (— 3) = '— 3;

6- (— 2 ) = — 12;

5 - (— 1) = = — 5 и 4 - 0 = 0. С лож ив эти произведения, получаем сумму, р а в ­ ную — 20, и зап и сы ваем ее в граф у 2 ^^^У'х второго в ер ти к ал ь ­ ного столбца и т. д. З атем находим общ ую алгебраическую сумму всего вертикального столбца Е tiiyx'^^ = —^84 и общую сум му всего горизонтального столбца f^xy'^ = 2 0 2.

Д а л е е подсчиты ваем верти кальн ы е и горизонтальны е столбцы значений Шух'^у' и Шху'^х'. Они вы числяю тся путем ум нож ения соответствую щ их значений Шух'у (или ШхУ'х), полученных в пре­ ды дущ ем столбце, на соответствую щ ие им условны е значения у ' (или х '). Н априм ер, в первой строке значение = — 3, ум нож ив его на у' = — 3, получаем 9 и заносим эту циф ру в пер­ вую строку граф ы тух'уу'.

В о второй строке —22 ум н ож аем на — 2, получаем 44 и т. д.

В конце всего вертикального столбца подсчиты ваем ал геб р аи ч е­ скую сумму;

2 Пух' у ' = 2 0 5.

Р ассчи ты ваем гр аф у Шху'^х', у м н о ж ая зн ачен ия Ш ху'^ на со­ ответствую щ ие им условны е зн ачен ия х '. П олучаем числа — 2Х горизонтальной граф ы подсчиты ваем алгебраическую сумму:

правильности расчетов данной корреляционной таблицы.

К оэф ф ициент корреляц ии г данной связи мож но рассчитать Р ассчи ты ваем другие члены, входящ ие в ф орм улу коэф ф ициента корреляции: х', у ', Ох' и Gy\ С редние квад рати ческие отклонения Ох', Оу' находим по фор ' м улам Д л я н ахож ден и я 2 tnxx'" берем к в ад р аты значений х ' каж д ого столбца и ум н ож аем на т *, затем суммируем эти значения. В н а ­ шем прим ере С о гл а ш о выполненным расчетам, х ' = — 0,622. В озводим х ' в к в ад ­ О тсю да находим Т аким образом, найдены всё величины, необходимы е д л я вы ­ числения коэф ф ициента корреляции г:

С редняя ош ибка коэф ф ициента корреляции равн а тогда наиболее вероятны е значения г будут находиться в интер­ вале:

М акси м альное и м иним альное значения г л е ж а т в пределах г ± 3 0 г ;

30г = О,О9:

В ер о ятн ая ош и бка коэф ф ициента корреляции г рез вероятную ош ибку. Они равн ы Обычно находится одна из ош ибок или Ог, или Ег, т а к к ак предельны е зн ачен ия коэф ф ициента корреляц ии г, вы численны е М ы получили коэф ф ициент корреляц ии г = 0,83 д л я условных И сходя из первого свойства коэф ф ициента корреляции (2.5), его мож но принять и д л я действительны х значений х н у.

Р ассчи таем уравн ен ие линейной регрессии связи двух перем ен­ ных величин по ф орм уле где R = r С редние квад р ати ч ески е отклонения 0ж и 0 ^ у нас вы раж ен ы в условны х единицах. П ереводим их в действительны е. З а услов­ ную единицу мы приним али пять действительны х единиц, след о­ вательно, д л я того чтобы получить 0х и Оу в действительны х ед и ­ ницах их зн ачен ия в условны х единицах н адо ум нож ить на пять.

В р езу л ьтате этого получаем:

С реднее ариф м етическое зн ачение л;

в действительны х едини­ цах вы числяем по ф орм уле где Xq—-значение н ачального отсчета х при х ' = 0;

о — количе­ ство действительны х единиц, взяты х за одну условную.

В наш ем прим ере хо = 22,5, d = 5. О тсю да П одобны м образом вы числяем у в действительны х единицах В наш ем прим ере уо = 22,5, d = 5. О тсю да Н аходим уравнение регрессии Т аким образом, М ы получили уравнение связи м еж д у зап ас ам и вл аги в р а з ­ личных слоях почвы [25].

З н а я зап асы вл аги в верхнем (О— 20 см) слое почвы ( х), м о­ ж но рассчитать зап асы влаги в слое почвы 20— 50 см ( у ) и, таки м образом, иметь п редставление о зап ас ах вл аги в полум ет­ ровом слое почвы.

Р ассчи таем среднюю квадратическую ош ибку уравн ен ия р е­ грессии;

По найденном у уравнению регрессии построим теоретическую линию регрессии у по х на корреляционном поле (рис. 2.3). П ри х — 0, у = 11,56. О тклады ваем точку с таким и координатам и на оси Y. З а д а д и м ещ е ряд значений х\ О тклады ваем на граф и ке точки с данны м и коорди натам и и через них проводим прямую линию. Это и есть и ском ая теорети ­ ческая линия регрессии, уравнение которой было найдено: г/ = = 0,9 5 х + 11,56. М ож но было провести линию по двум точкам^ з а д а в зн ачен ия х н ач ал а и кон ц а располож ени я точек ко р р ел я­ ционного поля.

М етод группировки дан ны х удобен в расчетах. Он менее гро­ моздок, однако и менее точен. И м мож но п ользоваться только при больш ом числе наблю дений (больш е 100). П ри м алом числе наблю дений метод группировки дан ны х прим енять не следует, т а к к а к это м ож ет повлечь ош ибки, о которы х говорилось в р а з ­ д ел е 2.1.

2.9. ПРИМ1ЕР РАСЧЕТА УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗИ

МЕЖДУ ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

ПО НЕСГРУППИРОВАННЫМ ДАННЫМ (ЗАВИСИМОСТЬ УРОЖАЙНОСТИ

ОЗИМОЙ ПШЕНИЦЫ ОТ ВЕСЕННИХ ЗАПАСОВ ВЛАГИ В ПОЧВЕ)

У равнение регрессии и коэф ф ициент корреляции двух перем ен­ ных величин часто находят, не группируя дан ны е и не п риб егая к условны м единицам. К огда число случаев пар наблю дений не слиш ком велико (не больш е 100), то расчеты и по несгруппиро­ ванны м данны м могут быть не слиш ком гром оздким и, если п ри ­ менить д л я вы числения г ф орм улу (2.22), где величины в ы р а­ ж ены через отклонения от средних. Этот способ имеет свои п реи ­ м ущ ества в более быстром прям ом пути расчета, при котором м еньш е возм ож ностей допустить ошибки.

П риведем прим ер расчета коэф ф ициента корреляц ии и у р а в ­ нения регрессии по у казан н ом у способу.

Н ам и [31] бы ла н ай дена зависим ость урож айн ости озимой лш еницы от весенних зап асо в в л аги в почве (рис. 2.4). Э та з а ­ висим ость более четко п роявл яется в зоне недостаточного л ет­ него у вл аж н ен и я почвы на У краине и С еверном К ав казе. В п ре­ д ел ах зап асо в продуктивной вл аги весной в м етровом слое почвы от 100 до 200 мм, при благоприятны х осенних и зим них условиях, к о гд а весной число стеблей у озимой пш еницы н а 1 м^ составляет 1000— 1900, при высокой агротехнике д л я одного и того ж е сорта э та зависим ость урож айн ости озимой пш еницы от весенних зап а. сов вл аги яв л яе тся прямолинейной.

П р овед я ан ал и з дан ны х об урож айн ости озимой пш еницы при вы сокой агротехнике на п олях опытных станций, сельскахозяй ственных институтов, передовы х колхозов и совхозов У краины и С еверного К а в к а за и наблю дений за зап асам и продуктивной в л аги на тех ж е полях, мы получили больш ой м атери ал соп ря­ ж енны х данны х двух величин д л я каж д ого года — урож айности озимой пшеницы и весенних зап асов продуктивной влаги в м ет­ ровом слое почвы.

У рож айность — зав и си м ая перем енная величина от зап асов вл аги — яв л яется функцией у. З а п а сы вл аги весной-— н езави си ­ м ая от урож айности перем енная величина — яв л яе тся аргум ен ­ том X.

Д ан н ы е каж д ого года х я у под одним порядковы м номером поместили в таб л и ц у и получили таблицу-сводку, где было 1Q сопряж енны х значений л: и г/, т. е. п — общ ее число случаев, р а в ­ ное 100.

П осле этого, отлож ив на вертикальной оси значения у — у р о ­ ж айности озимой пшеницы, а на горизонтальной оси значения X — зап асо в влаги весной, д л я каж д ой пары значений х и -у по лучиди точки на плоскости с коорди натам и х м у. Т аким о б р а ­ зом, получили корреляционное поле из 100 случаев пар двух пе­ ременных величин X и По располож ению точек на граф и ке видно, что м еж ду этими величинами сущ ествует тесная- линейная корреляц ион н ая связь, д л я которой необходимо найти уравнение прямой линии регрессии и коэф ф ициент корреляции, определяю щ ий степень тесноты этой связи.

Т ак к а к зап асы влаги в метровом слое почвы в ы р аж аю тся больш ими числами, то находить коэф ф ициент корреляции и у р а в ­ нение прям ой регрессии удобнее всего по ф орм уле (2.22). В этой ф ормуле использую тся не сам и величины, а их отклонения (А) от средней и тем самы м исклю чается гром оздкость расчета:

Д л я облегчения расчетов по указан н ой ф орм уле необходимо составить табл. 2.8 и рассчитать значения у казан н ы х в ней ве­ личин.

В гр аф е 1 зап и сы вается порядковы й номер п ары наблю дений X и у. В гр аф ы 2 и 3 вносятся соответственно зн ачен ия каж д ой пары X и у, относящ иеся к одному году и к одному полю. В г р а ­ ф ах 4 и 5 рассчиты ваю тся отклонения к аж д ого х, и У( от их сред- них ариф м етических величин (х и у ), д л я этого берется ал геб р аи ­ ческая разность с учетом зн ак а. В гр аф ах 6 и 7 вы числяю тся кв ад р аты отклонений, а в граф е 8 — произведение отклонений (с учетом з н а к а ). Г раф ы 9 и 10 рассчиты ваю тся д л я контроля.

Т аким образом, д л я расчета указан н ы х гр аф таб л. 2.'8 в пер­ вую очередь следует найти средние ариф м етические значения х Пример расчета уравнения зависимости урожайности озимой пшеницы у от весенних запасов продуктивной влаги в почве х (корреляция двух переменных величин для несгруппированных данных) А х А у, их к в ад р аты Ах^ и Ау^, а т а к ж е суммы этих величин, необходймо провести контроль расчетов по ф ормуле Е сли расчеты в таб л и ц е верны, то зн ачен ия чисел левой и правой частей формулы будут одинаковы, в противном случае необходимо провести пересчеты, пока не об наруж и тся ош ибка и не будет соблю дено у казан н ое равенство. Только после этого м ож но приступать к дальнейш им расчетам коэф ф ициента корре­ л яции и уравн ен ия регрессии.

В наш ем прим ере контроль п о к азал правильность расчетов:

К оэф фициент корреляции г находим по следую щ ей ф ормуле:

С редняя ош ибка коэф ф ициента корреляции равн а В ер о ятн ая ош ибка коэф ф ициента корреляции равн а О тсю да н аи более вероятны е значения коэф ф ициента корреляц ии заклю чены в и нтервале П редельное значение г близко к г ± 4 Е г или г ± З О г :

К а к следует из этих расчетов, на У краи н е и С еверном К а в ­ к а зе н аб лю д ается тесн ая связь урож айн ости озимой пш еницы с весенними зап ас ам и влаги, коэф ф ициент корреляц ии которой высокий: г = 0,86, а его ош ибки небольш ие. Д а ж е с учетом этих ош ибок предельное зн ачение коэф ф ициента корреляц ии не стано­ вится меньш е 0,78, что говорит о хорош ей связи м еж д у у к а з а н ­ ными величинами.

П ерейдем теперь к расчету уравн ен ия линии прям ой регрес­ ния регрессии Gy И Gx — средние квад рати ч ески е отклонения:

О ткуда П одставив зн ачен ия х, у я R в уравн ен ие прям ой линии, по­ лучим нам и зависим ость, окончательно имеет вид где у —^урож айн ость озимой пш еницы, ц /га;

х — зап асы продук­ тивной в л аги в м етровом слое почвы весной при переходе сред­ ней декадн ой тем пературы воздуха через 5 °С, мм.

О пределим средню ю квадрати ческую ош ибку найденного у р а в ­ нения регрессии:

Т аким о б разом, зн ая весенние зап асы вл аги в почве, по д а н ­ ному уравнению мож но с трехм есячной заб лаговрем енн остью н е­ зависим о от будущ ей погоды оп ределять виды на урож айность озимой пш еницы с ош ибкой ± 3,5 ц/га.

П ри нахож дении уравнений корреляционны х связей следует у к азы в ать пределы их действия. Н айден н ое нам и уравнение, к ак было у к азан о выш е, действует в п ред елах значений весенних з а ­ пасов в л аги от 100 до 200 мм.

По указан н ом у уравнению, з а д а в а я различны е значения х, находим зн ачен ия у и строим теоретическую линию регрессии у по л: (см. рис. 2.4). Н априм ер, зад ае м зн ачение х = 1 0 0 мм, тогда г/= 13,8 ц /га. О тм ечаем эту точку на граф ике. П ри х = 200 мм у = 37,8 ц /га получ-аем вторую точку на граф ике. Ч ерез указан н ы е д в е точки проводим прямую линию. Это и будет и ском ая теорети­ ческая линия регрессии, уравнение которой у = 0, 2 4 х — 10,22.

П ри нахож дении теоретической линии регрессии достаточно за д а ть только д ва значения х и, рассчитав д в а зн ачен ия у, п олу­ чить на гр аф и ке д ве точки. К ак известно, через д ве точки мож но провести только одну прямую. П оэтом у, имея две точки, мы п р а ­ вильно проведем искомую теоретическую линию прям ой регрес­ сии, уравнение которой наш ли.

Глава 3. М НОЖ ЕСТВЕННАЯ ЛИ НЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

ТРЕХ П ЕРЕМ ЕН Н Ы Х ВЕЛИЧИН

МНОЖЕСТВЕННОЙ КОРРЕЛЯЦИИ. УРАВНЕНИЕ СВЯЗИ

МЕЖДУ ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

П ри исследовании связей м еж д у различны м и явлен и ям и часто мож но встретиться с тем, что на одну переменную величину о к а ­ зы ваю т влияние ср азу несколько переменны х величин. В этой гл ав е рассм отрим вопрос о связи трех переменны х величин, т. е.

когда одна зав и си м ая перем енная величина 2 зави си т главны м о бразом от двух других величин, независим ы х переменны х х я у.

Н аи б о л ее простой ф ормой такой связи явл яется линейная связь.

В случае зависим ости м еж д у трем я величинами, уравнение л и ­ нейной м нож ественной корреляц ии будет иметь вид где а, 6, с — постоянны е величины, п арам етры данного у р ав н е­ ния, которы е необходимо определить.

П ар ам етр ы уравн ен ия мож но определить двум я путями: 1) че­ рез коэф ф ициенты корреляции данны х переменны х величин, 2) м е­ тодом наименьш их квадратов.

Р ассм отри м первый способ расчета п арам етров уравн ен ия ч е­ рез коэф ф ициенты корреляции.

Л инейное уравнение связи м еж д у трем я перем енны ми вел и ­ чинами м ож но п редставить т а к ж е в виде где г, X я у — средние ариф м етические зн ачен ия величин z, х я у.

П осле определения вида уравн ен ия встает з а д а ч а определения тесноты связи м еж ду трем я переменны ми величинами, т.,е. оп ре­ деления общ его коэф ф ициента корреляц ии R.

где Ггж, Tzy,/"ж — п арны е коэф ф ициенты корреляции.

Общ ий коэф ф ициент корреляц ии R имеет следую щ ие свой­ ства.

1. Зн ач ен и е R всегда полож ительно и изм ен яется от О до 2. Если R = 0, то Z не м ож ет быть линейно связан о с х и у, однако при этом возм ож н а нелинейная корреляц и он н ая и д а ж е ф ун кц ион альн ая связь z с х я у;

3. Е сли R = l, то 2 связан о с х я у линейной' функциональной связью ;

4. Е сли R отлично от своих крайних значений (О и 1), то при приближ ении R к единице теснота линейной связи z с х я у у в е­ личивается.

Д л я того чтобы вы делить степень влияни я на полученный р е­ зу л ьтат каж д о го ф ак то р а в отдельности и определить общ ий к о ­ эф ф ициент корреляц ии R, надо рассчитать п арны е коэффициенты корреляции;

Здесь К аж д ы й из у казан н ы х парны х коэффициентов корреляц ии при наличии связи м еж ду трем я перем енны ми величинам и определяет тесноту линейной связи м еж д у д вум я величинами, когда третья величина остается (условно) постоянной. П арн ы е коэф ф ициенты корреляции г могут быть определены и по другим ф орм улам, у к а ­ занны м в р азд ел е 2.4.

О пределив парны е коэф ф ициенты корреляц ии Гхх, Ггу, гху,' а т а к ж е общ ий коэф ф ициент корреляц ии R и убедивш ись в д о ­ статочно н адеж ной тесноте связи м еж ду исследуем ы м и величи­ нами, переходим к определению п арам етров а, Ь и с уравнения линейной регрессии z = a x + b y + c. Ф ормулы д л я -в ы ч и сл ен и я п а ­ рам етров а я Ь имею т следую щ ий вид:

где (Jz, сгж Gy — средние квад рати ческие отклонения соответственно рядов Z, X и у.

(tt — общ ее число н аб л ю д ен и й ).

П одставив зн ачен ия п арам етров а и 6 в уравнение (3.2), по­ лучим общий вид уравн ен ия регрессии, трех переменны х величин:

Реш ив уравн ен ие (3.6), получим окончательное уравнение мне ж ественной регрессии z = a x + b y + c, которое будет х ар а к тер и зо ­ вать найденную нам и связь м еж ду трем я переменны ми в ел и ­ чинами.

С редняя квад р ати ч еск ая ош ибка уравн ен ия регрессии трех переменны х величин вы числяется по ф ормуле С редняя к в ад р ати ч еск ая ош ибка общ его коэф ф ициента мно­ ж ественной корреляции вы числяется по ф ормуле Д ан ны е, необходимы е д л я расчета общ его коэф ф ициента мно­ ж ественной корреляц ии R и уравн ен ия регрессии трех перем ен­ ных величин вы числяю тся с помощ ью таблрщы, аналогичной таб л. З.Г.

3.2. ПРИМЕР РАСЧЕТА УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗИ

М ЕЖ ДУ ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

(ЗАВИСИМОСТЬ ЗАПАСОВ ВЛАГИ В ПОЧВЕ

ОТ КОЛИЧЕСТВА ОСАДКОВ В РАЗНЫЕ ПЕРИОДЫ )

Д л я хар актер и сти ки условий роста и р азви ти я озимы х кул ь­ тур осенью в З ап ад н ой Сибири нам и [29] бы ла установлен а з а ­ висимость зап асо в продуктивной влаги в пахотном слое почвы от количества осадков за текущ ий и предш ествую щ ий месяцы. Р а с ­ смотрим в качестве прим ера линейной связи м еж д у трем я п ере­ менны ми величинам и зависим ость зап асов влаги в пахотном слое почвы в августе, когда проходит сев озимы х культур в З ап ад н ой С ибири, от суммы осадков в августе и июле.

У становить данную связь необходимо д л я того, чтобы, имея больш ой р яд наблю дений за осадкам и и небольш ие ряды н аб л ю ­ дений з а влаж н остью почвы, м ож но было по количеству осадков рассчитать зап асы в л аги в почве и д ать агроклим атическую оценку условий у вл аж н ен и я почвы в период сева озимых.

Т аким образом, необходимо найти уравн ен ие указан н ой связи трех переменны х величин вида где 2 — средние за август зап асы продуктивной влаги в слое почвы О—20 см, мм;

л : с у м м а осадков в августе, мм;

у — сумма осадков в ию ле, мм.

Д л я н ахож д ен и я неизвестны х п арам етров уравн ен ия а, Ь, с и коэф ф ициента множ ественной корреляц ии R, указы ваю щ его на тесноту связи, дан ны е наблю дений необходимо располож ить в табл. 3.2 и провести расчеты остальн ы х граф.

Д в е последние граф ы в таб л. 3.2 рассчиты ваю тся д л я кон­ троля.

П осле ан ал и за м атер и ал а наблю дений и установления его при­ годности д л я о бработки в таб л. 3.2, зап и сы ваем д ан ны е о з а п а ­ сах влаги (z) и количестве осадков за август и июль (соответст­ венно X V у ) V находим их средние значения:

П осле этого рассчиты ваем отклонения (Л) значений каж д ой величины от средней:

Пример расчета уравнения зависимости средних за август запасов продуктивной влаги в слое почвы 0 —20 см (г) от суммы осадков за июль {у) и август {х) (м нож ественная корреляция меж ду тремя переменными величинами) Н ай д я разности указан н ы х значений, их квад раты, их произ­ ведения и суммы этих значений и зап и сав все в табли цу, д ел аем контроль расчетов по ф орм уле К онтроль п о к азал правильность расчетов, поэтому мож но перейти к нахож дению парны х коэф ф ициентов корреляц ии м еж ду корре­ лируем ы м и величинам и Ггх, Ггу, Гху:

П осле этого находим общ ий коэф ф ициент множ ественной кор­ реляции R и его вероятную ощ ибку Er :

в интервале а предельны е зн ачен ия коэф ф ициента корреляции К а к видим, зн ачен ия R очень- высокие, т. е. связь зап асов вл аги в слое почвы 0— 20 с м -с количеством осадков з а август и ию ль очень тесная.

Н айдем уравнение регрессии данной связи. Д л я этого рассчи­ таем средние квад рати ческие отклонения:

П о д ставл яя в у р а в н е н и е найденны е значения г, л:, у, Gz, Ох, Оу, Гхху.Ггу, Гху, находим искомыс П а р а м е т р ы а, Ь и с :

Т аким образом, уравнение зависим ости зап асов влаги от суммы осадков за август и июль имеет вид z = 0,35x + 0,16y + 0,l, где г — средние за август зап асы продуктивной вл аги в слое почвы О— 20 см, мм;

х — сумма осадков за август, мм;

у — сум ма осадков за июль, мм.

Н аходим средню ю квадратическую ош ибку данного уравнения регрессии Д л я удобства расчетов по найденном у уравнению построим граф ик, где по оси абсцисс (х) отлож им суммы осадков за август, а по оси ордин ат ( у ) — с уммы осадков за июль (рис. 3.1).

зн ачен ия зап асов влаги ( z ). Эти зн ачен ия будут сам ы е р азл и ч ­ ные, по ним трудно провести линии равны х значений (z) через определенны е интервалы, которы е мы хотим получить на г р а ­ фике. П оэтом у граф и к лучш е строить следую щ им образом.

Д опустим, надо получить на граф и ке зн ачен ия 2 через интер­ нение сн ач ал а относительно х при г/ = 0, а затем при тех ж е зн а чениях г реш аем уравн ен ие относительно у при х==0. Н априм ер на гр аф и ке необходимо получить линию 2 = 5 мм. Р еш аем урав нения д л я данного 2 = 5 мм относительно х при у = 0, получаем:

5 = 0,35х + 0,1, откуда х = 1 4,0. О тк л ад ы в ая 14 на оси абсцисс, по­ лучаем точку с коорди натам и z = 5, г/ = 0, х = 14.

Теперь реш аем уравн ен ие в отнош ении у д л я этого ж е 2 = = 5 мм, но при х = 0, получаем 5 = 0,16г/ + 0,1, откуда t/ = 31. О т­ к л ад ы в а я 31 на оси у, получаем точку с коорди натам и 2 = 5, х = 0,.

у = 31. Таким образом, мы имеем д ве точки на осях, где 2 = 5 мм.

Ч ерез д ве точки, к а к известно, мож но провести только одную Тпрямую. П роводим эту прямую д л я 2 = 5 мм.

Е сли н адо построить гр аф и к д л я значений 2 через и нтервал 5 мм, то дальн ей ш и е расчеть? проводят аналогичны м образом д л я 2 = 10, 15, 20 мм и т. д.

П олучив точку на оси х прй 2 = 10, у = О, х = 28 и точку на оси у при 2 = 10, х = 0, у = 62, проводим через д ве эти точки линию и т. д.

Т аким образом, получаем граф ическое изображ ен и е зав и си ­ мости, по котором у легко производить расчеты зап асо в в л аги в почве в зависим ости от суммы осадков (рис. 3.1).

У равнения связи м еж д у трем я перем енны ми величинам и м о­ ж но рассчиты вать т а к ж е методом сгруппированны х данны х с в ве­ дением условны х единиц. В этом случае д л я подсчета каждого^ парного коэф ф ициента корреляции rzx, Ггу, Гху составляю тся три отдельны е корреляционны е табли цы, подобно таб л. 2.5. По этим таб л и ц ам кром е Ггх, Ггу, Гху н аход ят 2, X, у, CTz, Ох и Gy точно таким ж е способом, к а к было подробно излож ено в разд ел е 2.8.

З а тем, подставив рассчитанны е величины в форм улы д л я i? и 2, приведенны е в настоящ ем разд ел е, получим множ ественны й ко ­ эф ф ициент корреляции R и уравн ен ие регрессии трех переменны х величин.

Глава 4. М НОЖ ЕСТВЕННАЯ ЛИ НЕЙНАЯ КО РРЕЛЯЦИ Я

ЧЕТЫ РЕХ П ЕРЕМ ЕН Н Ы Х ВЕЛИЧИН

МЕЖДУ ЧЕТЫРЬМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ.

П А РН Ы Е И О БЩ И Й К О Э Ф Ф И Ц И ЕН ТЫ К О Р Р Е Л Я Ц И И

Ч асто бы вает, что связь м еж ду двум я или трем я величинами недостаточно тесная и необходимо учиты вать ещ е ряд ф акторов.

Т огда ищ ут связь м еж д у четы рьм я величинам и или точнее ищ ут зависим ость одной переменной величины от трех других перем ен­ ны х величин. У равнение этой зависим ости будет иметь вид Д л я удобства расчетов п арам етров уравн ен ия а, Ь, с, d и ко ­ эф ф ициента множ ественной корреляции R составляется таб л и ц а, A z = z i — ^z, а м, X, у и 2 — средние ариф м етические величины.

П ри корреляции четы рех переменны х величин необходимо найти ш есть парны х коэффициентов корреляции. Они вы чи сля­ ю тся по ф орм улам, аналогичны м (2.22):

П осле этого н аход ят общий коэф ф ициент множ ественной ко р ­ реляции четы рех величин R по ф ормуле где + г \ у г 1 г + 2 (ГхуГхгГуг + ГугГагГиу + ГихГигГхг + ГихГиуГху) ~ У равнение регрессии четы рех перем енны х величин, в ы р аж ен ­ ное через г и о имеет общ ий вид Х{х-х) + О пределив средние квад рати ч ески е отклонения и рещ ив общ ее уравн ен ие относительно и, получим у р ав н ен и е окончательного вида д л я связи четы рех переменны х и = а х + Ь у + С редняя квад р ати ч еск ая ош ибка уравн ен ия регрессии рассчи­ ты вается по ф ормуле К а к видим, расчеты уравн ен ия связи четы рех перем енны х не слож ны, но очень громоздки. П ри введении ещ е больш его числа переменны х расчеты, становятся ещ е более гром оздким и. В этом случае подсчиты ваю т парны е коэффициенты корреляции м е ж д у искомой величиной и каж д ой из величин, связь с которы ми надо оты скать. П ар н ы е коэф ф ициенты корреляц ии п окаж ут, каки е в е­ личины следует учесть, а каки м и м ож но пренебречь.

4.2. ПРИМЕР РАСЧЕТА УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

ЧЕТЫРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН

(ЗАВИСИМОСТЬ ЗАПАСОВ ВЛАГИ

В ПОЧВЕ ОТ КОЛИЧЕСТВА ОСАДКОВ, ТЕМПЕРАТУРЫ

И ИСХОДНЫХ ЗАПАСОВ ВЛАГИ)

В агром етеорологии, к а к известно, прогнозирование запасов, продуктивной вл аги под различны м и культурам и проводится на основе расчетов по уравн ен иям с четы рьм я переменными. Это уравнение зависим ости зап асов влаги в почве к концу д екад ы от суммы осадков и средней тем пературы за д екаду, а т а к ж е от ис­ ходны х зап асов влаги к н ач ал у декады.

Н ам и в [29] были найдены уравн ен ия зависим ости зап асов в л а г и в почве под кукурузой к концу д екад ы от суммы осадков и средней тем пературы воздуха з а д екаду, а т а к ж е от исходных за п а с о в вл аги к началу, д екады. Эти зависим ости были опреде­ л ен ы д л я метрового и пахотного слоя почвы по различны м о т­ р езк ам вегетационного п е р и о д а ’кукурузы.

П риведем пример н ахож ден и я указан ного уравн ен ия зав и си ­ мости зап асо в вл аги в метровом слое почвы к концу д екад ы (ы) от исходных зап асов вл аги к н ач ал у д ек а д ы (х ), суммы осадков {у) и средней тем пературы воздуха (г) за д ек ад у в период от вы ­ б расы ван ия м етелки до молочной спелости кукурузы. П осле а н а ­ л и з а больш ого м атер и ал а наблю дений дан ны е заносим в таб л. 4. л рассчиты ваем средние величины и, х, у я z:

З а т е м находим разности значений каж д ой величины со средними { A u = ui — и, А х = х / — X и т. д.), к в ад р аты этих разностей, п рои з­ ведения разностей и суммы этих величин.

П осле расчета всех граф таб л. 4.2 и получения сумм у к а з а н ­ ны х величин по гр аф ам, приступаем к расчету ш ести парны х коэфф ициентов корреляции между, различны м и величинами:

Пример расчета уравнения зависимости запасов продуктивной влаги в почве к концу декады (и ) от исходных запасов влаги к началу декады {х), суммы осадков (г/) и ^температуры воздуха (z ) за декаду (множественная корреляция четырех = Находим общий коэффициент множественной корреляции Согласно (4.3) и (4.4), тогда Вероятная ошибка коэффициента множественной корреляции Предельные значения R равны Связь, судя по коэффициенту корреляции, очень хорошая.

Находим средние квадратические отклонения:

Затем приступаем к расчету уравнения регрессии по формуле {А.Ъ) и после простых арифметических действий имеем:

и — 64 = 0,73х — 59,86 + 0,54у — 9,18 — 2,292 + 49,69.

Окончательно уравнение искомой зависимости имеет вид где_,и — запасы влаги в метровом слое почвы под кукурузой к концу декады в период от выбрасывания метелки до молочной спелости;

х — исходные запасы влаги в метровом слое почвы к началу декады;

у — сумма осадков за декаду;

2 — средняя тем­ пература воздуха за декаду.

По данному уравнению (4.7) можно, построить номограмму, с помощью которой легко найти и (рис. 4.1).

Однако на плоскости можно изобразить связь только трех переменных величин, поэтому графическую зависимость строят для трех величин и, х, у (при постоянном г), а для четвертой ве­ личины 2 рассчитывают по уравнению (4.7) поправки, которые учитывают при окончательном расчете и.

Обычно график рассчитывается для и, х и у при постоянном равном т. е. при среднем арифметическом значении г. В на­ шем примере 2 = 22,0.

Рис. 4.1. Номограмма для определе­ ния запасов влаги в метровом слое Средняя темпе­ почвы под кукурузой к концу декады по исходным запасам влаги к началу за декаду, °с декады (х), сумме осадков за декаду (у) и по средней температуре возду­ Поправка на за­ 97520 -5 -7 - ха за декаду (в период от выбрасы­ пасы влаги, мм вания метелки до молочной спелости).

Таким образом, взяв 2 = 22,0, рассчитываем график связи трех переменных величин и, х я у, аналогично тому, как это было сде­ лано в разделе 3.2, с той лишь разницей, что здесь берутся зна­ чения И интервалы запасов влаги для метрового слоя почвы (рис. 4.1).

Судя по данным наблюдений, использованным для расчета уравнения, запасы влаги в метровом слое почвы под кукурузой в этот период могут изменяться в пределах от О до 160 мм.

Возьмем интервалы для и, равные 10 мм, и найдем на графике линии, для которых и равно 10, 20, 30 мм и т. д. По оси абсцисс откладываем исходные запасы влаги к началу декады (х), по оси ордИнат — сумму осадков за декаду (у), в поле графика бу­ дем строить линии равных значений и с интервалом 10 мм при 2 = 22,0.

Задавая определенные значения и и находя одновременно лри у = О и Z = 22,0 значения х, а при х = О и z = 22,0 — значения tf, получим на осях х я у точки, соответствующие данному значе­ нию и. Соединив эти точки, получим линию равных значений и.

Таким же образом строим линии различных равных значений и с интервалом 10 мм. Получаем график связи и, х я у при z = = 22,0, Следовательно, все расчеты запасов влаги по этому гра­ фику будут соответствовать температуре воздуха 22,0 °С. Для учета различных значений температуры находим поправки. Для z = 22,0 поправка на графике равна О, так как он был построен при таких значениях температуры.

Рассчитываем уравнение (4.7) относительно и для различных -значений z (через 1 °С) при одинаковых значениях х я у я та­ ким образом получаем разные значения и только в зависимости ют Z. _ Разности между значением и при z = 22°C и различными зна­ чениями Z дадут нам поправки на температуру воздуха, которые •сводятся по градациям в табличку под номограммой (см. рис. 4.1).

Алгебраическая сумма значения и, снятого с графика, и поправки даст нам окончательную величину рассчитываемых запасов влаги и.

Расчеты парных коэффициентов корреляции г«х, Гиу, Uz, гху, Гхх И Гуг, а также средних квадратических отклонений 0«, Ох, о у я Oz МОЖНО проводить также методом сгруппированных данных по частотам с введением условных единиц. Для нахождения каж ­ дого парного г рассчитываем таблицу, подобную табл. 2.7, по­ дробное изложение расчетов которой дано в разделе 2.8. Следо­ вательно, в общей сложности рассчитываем шесть таблиц и на­ ходим значения шести парных г и 0 й средние арифметические величины и, X, z. Затем, подставляя' их в формулы для R я для и, приведенные в этом разделе, рассчитываем множественный ко­ менных.

4.3. ЗА ВИ С И М О С ТЬ К О Э Ф Ф И Ц И ЕН ТА К О Р Р Е Л Я Ц И И

ОТ О БЪ ЕМ А ВЫ БО РК И И Ч И СЛ А П Р Е Д И К Т О Р О В В У РА ВН ЕН И И

Приведем данные о зависимости коэффициентов корреляции ют объема выборки и числа предикторов в уравнениях, сравним их с коэффициентами корреляции в генеральной совокупности" по Р. А. Фишеру [32], Как было показано выше, коэффициент корреляции в боль­ шой степени зависит от объема выборки и при малом ее объеме может быть значительно завышенным. Принято считать на прак­ тике, что величины достаточно связаны между собой при г ^ 0,6.

Часто это значение г принимают без учета объема выборки при малом числе случаев наблюдений.' Из рис. 4.2 а видно, что при простой корреляции для урав­ нения связи с одним предиктором коэффициент корреляции в ге­ неральной совокупности (истинная корреляция) равен 0,6 при значении коэффициента корреляции 0,7 в выборке объемом из Рис. 4.2. Связь истинного коэффициента корреляции (у) с выбороч­ ным коэффициентом корреляции {х) в зависимости от длины вы-.

а) простая корреляция;

у = а + Ь х \ б) м нож ественная корреляция при трех факторах: y ’ a+biXi+btXi+b^Xz-, в) множ ественная корреляция при пяти ф ак­ торах: !i=a+btXi+b2X2+bzX3+biXt+bsX5;

г ) м нож ественная корреляция при семи 75— 100 случаев наблюдений. При меньшем объеме выборок зна­ чение коэффициента корреляции должно быть больше. Так, при объеме выборки из 20 случаев наблюдений коэффициент корре­ ляции должен быть не менее 0,8, тогда в генеральной совокупно­ сти при истинной корреляции его значение будет не менее 0,6.

При множественной корреляции для уравнения с тремя пре­ дикторами (рис. 4.2 б) множественный коэффициент корреляции в генеральной совокупности может быть равен 0,6 при множест­ венном коэффициенте корреляции 0,7 в выборке из 75— 100 слу­ чаев и 0,82 в выборке из 20 случаев.

При множественной корреляции для уравнения с пятью или семью предикторами (рис. 4.2 в, г) множественный коэффициент корреляции в генеральной совокупности может быть равен 0, при множественном коэффициенте корреляции 0,7 в выборке из 75—100 случаев и 0,8 в выбор!ке из 30—40 случаев.

Глава 5. НАХОЖДЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫ Х СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ

ВЕЛИЧИНАМИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

5.1. НАХОЖДЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗИ

М ЕЖ ДУ ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Если- найдена линейная зависимость двух переменных величин, общий вид уравнения которой у = ах+ Ь, то коэффициенты (па­ раметры) уравнения, кроме определения через г, Ох и Оу, могут быть также найдены с помощью решения системы уравнений методом наименьших квадратов.

Допустим, что характер расположения точек на корреляцион­ ном поле показывает прямолинейную связь, теоретическая линия регрессии которой выразится уравнением у==ах+Ь. Параметры а и Ь, характерные для этой линии регрессии, неизвестны.

Из бесчисленного, множества прямых линий, которые можно провести на плоскости по точкам корреляционного поля, следует выбрать одну, наилучшим образом соответствующую эксперимен­ тальным данным.

При корреляционной связи при одном и том же значении х будем иметь несколько значений у. Чтобы прямая регрессии ближе всего подходила к точкам, необходимы наименьшие откло­ нения ординат различных точек от данной прямой. Но отклонения ординат точек от прямой могут быть положительными и отрица­ тельными в зависимости от того, где расположены точки — выше или ниже прямой. Возможен и такой случай, когда сумма отдло нений (У‘ — Ух) окажется очень малой из-за различия знаков, а точки будут располагаться далеко от прямой. Чтобы избежать этого и исключить влияние знаков отклонений, достаточно искать наименьшее значение не суммы отклонений 2 (yi — ух), а суммы квадратов отклонений 2 (Уь — УхУ.

Таким образом, для отыскания лучшей прямой регрессии дан­ ного корреляционного поля необходимо, чтобы т. е. сумма квадратов отклонений фактических ординат (г/г) от ординат, вычисленных по уравнению прямой (уж), должна быть наименьшей. В (5.1-) выражено основное условие метода наимень­ ших квадратов.

Обозначим сумму квадратов отклонений 2 (г/{ — Ух)"^ через f и заменяя ух через ах +Ь, получим Так как величина f зависит от а и Ь, то ее можно рассматри­ вать как функцию двух неизвестных параметров aw. Ь.

Д ля нахождения ее минимума можно использовать известный прием дифференциального исчисления, заключающийся в отыска­ нии двух частных производных первого порядка от функции f по а и 6, в приравнивании их к нулю и определении значений а и Ь из полученных-двух уравнений.

На основании этого будем иметь Раскрывая скобки и разбивая на почленные суммы, а затем вынося общие множители а и 6 за знаки сумм и заменяя 2 Ь на пЬ, уравнения можно свести к следующему виду:

Таким образом, мы получили систему двух нормальных урав­ нений первой степени относительно неизвестных параметров а и Ь. Их можно записать также в виде где п — общее число случаев или число точек корреляционного поля. Значения г/г и х,- известны из наблюдений. Таким образом, параметры уравнения прямой регрессии а я Ь можно определить на основе данных уравнений по следующим формулам:

для коэффициента регрессии для свободного члена Для вычисления 2 х;

, 2 г/;

, 'Z.x^. я ' Xitji составляется таб­ лица, аналогичная табл. 5.1.

Разделив числитель и знаменатель формулы (5.4) на п?, по­ лучим ИЛИ, Д ля взвешенных данных, если расчеты ведутся с учетом ча­ стот {тху), будем, иметь следующие уравнения и формулы для определения а и Ь:

откуда формула для коэффициента регрессии уравнения у = = а х + Ь имеет вид формула для свободного члена того же уравнения Для расчетов параметров уравнений с учетом весов или частот составляется таблица, подобная табл. 5.2.

Определив параметры а и Ь уравнения у ^ а х + Ь, строят по этому уравнению теоретическую линию регрессии, задавая раз­ личные значения х и получая рассчитанные значения у.

При расчете уравнений методом наименьших квадратов можно отсчитывать значения х и у от произвольного начала, а затем учесть это изменение отсчета в окончательной формуле. Это исключает из операций большие числа и уменьшает громоздкость расчетов.

Значения х vl у можно отсчитывать от средних х и у, если они не дробные числа, тогда расчеты значительно упрощаются.

в этом случае уравнение прямой регрессии будет иметь вид Нормальные уравнения для расчетов будут иметь вид откуда

5.2. НАХОЖДЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗИ

М ЕЖ ДУ ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Линейную зависимость одной переменной величины (z) от двух других переменных величин {х и у) можно выразить урав­ где а, Ь, с — неизвестные параметры уравнения, которые можно определить методом наименьших -квадратов.

Д ля этого необходимо решить систему из трех нормальных уравнений где ?г — общее число случаев наблюдений сочетания трех пере­ менных величин, 2 2 «/ и 2 2 — суммы соответствующих зна­ чений каждой из переменных величин.

Для решения этих уравнений удобно пользоваться'таблицей, подобной табл. 5.3. Получив из табл. 5.3 необходимые данные, со­ ставляем систему уравнений (5.13) и, решая ее, находим пара­ метры а, Ь я с уравнения связи z = ax + by + c.

5.3. НАХОЖ ДЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗИ

МЕЖ ДУ ЧЕТЫРЬМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ.

ПРИМЕР РАСЧЕТА УРАВНЕНИЯ ЗАВИСИМОСТИ УРОЖАЙНОСТИ

ЯРОВОЙ ПШЕНИЦЫ ОТ КОЛИЧЕСТВА ОСАДКОВ

В РАЗНЫ Е ПЕРИОДЫ ВЕГЕТАЦИИ И ИСПАРЕНИЯ

Линейное уравнение связи между четырьмя переменными ве­ личинами выразим формулой где неизвестные параметры уравнения ао, ai, аг, аз находятся путем решения системы четырёх нормальных уравнений:

Д ля вычисления параметров указанных уравнений удобно пользоваться таблицей, аналогичной табл. 5.4. Взяв необходимые данные из наблюдений и рассчитанные величины по таблице, со­ ставляем систему уравнений (5.14) и находим параметры урав­ нения.

При увеличении числа переменных увеличивается число чле­ нов уравнения связи, а следовательно, увеличивается и число нормальных уравнений, которые необходимо решить. Расчеты при большом числе членов (больше четырех) становятся очень гро­ моздкими и трудоемкими, 'поэтому их следует проводить на элек­ тронно-вычислительных машинах.

При нахождении уравнения связи между многими перемен­ ными величинами следует брать только те величины или факторы, которые оказывают существенное влияние на искомую перемен­ ную величину, иначе учет несущественных факторов сильно загро­ мождает расчетную работу.при нахождении уравнения связи, но мало приближает к более полному изучению связи.

. Приведем пример расчета параметров уравнения связи между четырьмя переменными величинами методом наименьших квадра­ тов. Пример взят из работы В. С. Немчинова [21].

Найдем уравнение зависимости урожайности яровой пшеницы (у) от суммы осадков за период от начала сева до начала куще­ ния пшеницы (х), от суммы осадков за период от начала кущения до начала цветения пшеницы (z) и от испарения за период от начала цветения пшеницы (и).

Для нахождения параметров уравнения указанной зависимо­ сти методом наименьших квадратов необходимо решить систему уравнений, где нужные суммы переменных величин рассчитыва. ются по табл. 5.5.

Составив табл. 5.5 и рассчитав необходимые суммы, подстав­ ляем их значения в систему уравнений (5.14) и решаем ее:

1459ао + 46 766а, + 106 111 + 251 798аз = 15610,0, 4857ао+ 121 212а, + 2517980^ + 1 03,4 455аз = 40229,7.

Делим вс-е члены уравнений на коэффициенты при ао:

ао + 44,9804а, + 65,4986аг + 169,7647аз = 11,5183, ао Ч-32,0535а, + 72,7286аз + 172,5826аз= 10,6991, ао + 24,9561а, + 51,8423аг + 212,9822аз = 8,2828.

Вычитаем из второго уравнения первое, из второго — третье и из третьего—^четвертое. Получим три уравнения:

16,4204а, + 7,3385а2— 24,5153аз == 2,2783, 7,0974а, + 20,8863а2 — 40,3996аз = 2,4163.

Делим все члены полученных уравнений на коэффициенты при аг.

Таблица расчета сумм величин, необходимых для решения системы уравнений связи четырех переменных П р и м е ч а н и е. Здесь у — урож айность яровой пш еницы,. ц/га;

х — сумма осадков от начала сева д о начала кущения' пшеницы, мм;

z — сумма осадков от начала кущения д о начала цветения пшеницы, мм;

и — испарение от начала кущения § д о начала цветения пшеницы, мм.

Вычитаем из первого уравнения второе и из третьего — вто­ рое. Получим систему двух уравнений:

Делим члены уравнений на коэффициенты при аг и, вычитая из второго уравнения первое, находим параметр аз:

Подставляя значение параметра аз в одно из предыдущих уравнений, находим параметр аг:

, 02 = 0,0745 - 1,2616-0,0106 = 0,0611.

Подставляя значения параметров аг и аз в одно из уравнений с параметром ai находим параметр ai:

Аналогичным образом находим параметр ао;

ао + 28,56 0,0958 + 58,16 • 0,0611 — 194,28 • 0,0106 = 9,24;

Подставляя полученные значения параметров в уравнение связи общего вида, получаем цскомое корреляционное уравнение связи между четырьмя переменными величинами;

Указанный пример расчета параметров уравнения линейной связи между четырьмя величинами включает в себя также рас­ четы уравнений связи между тремя и двумя величинами (соот­ ветственно решение системы из трех и двух уравнений) методом наименьших квадратов.

Глава 6. НЕЛИНЕЙНЫ Е КОРРЕЛЯЦИОННЫ Е СВЯЗИ

6.1. НАХОЖДЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЙ

ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ

Прямолинейная зависимость между х я у является наиболее простой формой связи. Однако часто связи между величинами являются более сложными, представляющие в графическом изо­ бражении кривую лйнию. Криволинейная, четко выраженная за­ висимость бывает видна и в корреляционной таблице по распо­ ложению частот.

Нередки случаи,’ когда при исследовании корреляционных свя­ зей точки Ai{xitji), A 2{X2tj2) -.. Ап{ХпУп) располагаются на гра­ фике вблизи некоторой параболы. Следовательно, эмпирическую формулу необходимо искать следующего вида:

Это уравнение параболы второго порядка. Оно выражает па­ раболическую зависимость, когда имеет место ускоренное возра­ стание или убывание одной величины (у) при равномерном воз­ растании другой (л:). Парабола второго порядка — кривая с од­ ним возможным максимумом или минимумом.

Метод наименьших квадратов дает возможность найти пара­ метры указанного параболического уравнения а, Ь, с путем реше­ ния системы следующих нормальных уравнений:

Это система уравнений для несгруппированных данных про­ стой перечневой таблицы, где для каждого значения Х;

указано одно значение у,- (частота т *. = 1).

Определив необходимые суммы значений х и г/ по таблице, аналогичной табл. 6.1, и решив указанную систему уравнений, можно Н ай ти параметры уравнения' искомой параболы, которая будет ближе всего располагаться около точек Ai.

Согласно основному условию наименьших квадратов, искомой параболой будет та, для которой сумма квадратов отклонений по ординате точек Ai, Лг, Л з... от точек, лежащих на параболе, при тех же абсциссах будет наименьшей.

в случае сгруппированных данных по частотам Шху система уравнений для нахождения параметров а, Ь и с имеет следующий вид:

Д ля расчета сумм данной системы уравнений пользуются таб­ лицей, подобной табл. 6.2. Вычисления параметров параболиче­ ского уравнения громоздки, связаны с большими числами, так как переменная х берется в квадрате, в третьей и четвертой сте­ пенях. Эти вычисления значительно упрощаются, если провести преобразования и перенести начало координат в точку, наиболее близкую к вершине;

тогда значения X i и yt значительно уменьша­ ются, а вычисления упрощаются:

где а и р координаты нового начала отсчета.

Делают и другие упрощения. Часто значения л: уменьшают в несколько раз (в 10, 20 и т. д.), что значительно уменьшает громоздкость расчетов.

Кроме параболы второго порядка, при изучении связи между -величинами применяются параболы более высоких порядков.

Чем выще порядок параболы, тем точнее он воспроизводит опыт­ ные данные.

Уравнение параболы третьего порядка имеет вид Для нахождения параметров уравнения а, Ь, с, d необходимо решить следующую систему нормальных уравнений;

Расчеты необходимых сумм в уравнениях проводятся с по­ мощью таблицы, аналогичной табл. 6.3.

При увеличении порядка параболы расчеты параметров урав­ нений становятся очень сложными и громоздкими.

Если мы имеем уравнение параболы некоторой степени е, то ее уравнение имеет вид у = а о + dix+U2X^+... + аеХ ^.

Параметры данного уравнения ai, аг... йе находятся путем ре­ шения системы е + 1 нормальных уравнений при группировке данных:

6.2. КОРРЕЛЯЦИОННОЕ ОТНОШЕНИЕ — МЕРА ТЕСНОТЫ СВЯЗИ

Д Л Я НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

Вопрос тесноты связи переменных величин у и х в нелиней­ ных зависимостях не может быть решена нахождением'коэффици­ ента корреляции г. Для этого находят корреляционное отноше.ние (ti).

Корреляционное отношение q является общим показателем тесноты связи у с, х любой формы, в этом его преимущество перед коэффициентом корреляции г. При прямолинейной связи кор­ реляционное отношение равно коэффициенту корреляции:

Корреляционное отношение т) называют также индексом корре­ ляции.

Корреляционным отношением у по х называется отношение среднего квадратического отклонения условных" средних г/ж отно­ сительно общей средней у [межгруппового а (г/ж)] к среднему квадратическому отклонению всех значений у относительно у [об щ ем уау).

Таким образом, корреляционное отношение будет разное для Следовательно, для расчета корреляционного отношения связи у по X необходимо определить квадратическое отклонение средних величин (г/) в строях сг(уж) и общее квадратическое от­ клонение (Ту величин у.

Корреляционное отношение выражают также через диспер­ сии. В этом случае ц дается следующее определение. Корреляци­ онным отношением называется корень квадратный из отношения межгрупповой дисперсии о^(уж) к общей дисперсии 0| :

где — межгрупповая дисперсия;

— общая дисперсия.

В двухмерной статистической совокупности могут быть три вида дисперсий.

1. Внутригрупповая дисперсия Ох.(у) — дисперсия значений у в каждой группе по столбцам или строям корреляционной таб­ лицы около условного среднего ух для определенного значения х.

При этом значения у меняются при неизменном л:. Значит это внутригрупповое рассеяние у не зависит от х, а зависит от дру­ гих факторов. Значок Xi показывает, к какому условному распре­ делению относится данное рассеяние у.

2. Межгрупповая дисперсия а^(^х)— дисперсия условных сред­ них Ух около общего среднего у. В этом случае с изменением зна­ чений л: условные средние ух также меняют свои значения при переходе от одного условного распределения к другому.

3. Общая дисперсия о^у — дисперсия всех значений у (по всей таблице) около общего среднего у. Таким образом, общая дис­ персия о^у состоит из двух видов рассеяния у, двух дисперсий — внутригрупповой и межгрупповой о^(Ух): первая дисперсия не зависит от х, а вторая, наоборот, целиком зависит от х.

Корреляционное отношение т], выраженное через дисперсию, показывает, какую долю в общей мере рассеяния (дисперсии) занимает дисперсия данной величины у, возникающая вследствие влияния другой величины х.

Корреляционное отношение имеет следующие свойства.

1. Корреляционное отношение ц всегда имеет значение между нулем и единицей 3. Если корреляционное отношение равно единице ('4^ /^ = !

или 'Пд./у = 1). то между х я у существует точная функциональная связь.

4. С возрастанием корреляционного отношения от нуля до единицы увеличивается теснота связи х я у, переходя при " = в функциональную.

5. Корреляционное отношение всегда больше или равно ко­ эффициенту корреляции г).

Средняя квадратическая ошибка корреляционного отношения равна

6.3. ПРИМЕР РАСЧЕТА КОРРЕЛЯЦИОННОГО

ОТНОШЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СВЯЗИ

и ВЕСЕННИМИ ЗАПАСАМИ ВЛАГИ В ПОЧВЕ

Нами был проведен анализ данных об урожайности озимой пшеницы и весенних запасах влаги в почве. Были выделены годы, когда озимая пшеница имела весной очень большое число стеблей (2000—2600) на 1 и построено корреляционное поле связи урожайностей озимой пшеницы в эти годы с весенними запасами влаги (рис. 6.1).

На графике (рис. 6.1) видно, что урожайность растет при уве­ личении запасов влаги весной до 170— 180 мм. В годы же, когда наблюдалось сочетание сильной загущенности посевов и больших запасов влаги весной, урожайность снижалась.

Эта зависимость хорошо описывается параболой.

Рис. 6.1. Зависимость урожайности пасов влаги (х) в метровом слое почвы в декаду перехода темпера­ туры воздуха, через 5 °С весной при загущении посевов (число стеблей на 1 м2 весной больше 2000).

Рассчитаем параметры уравнения для параболы второго по­ рядка, обший вид уравнения которой Будем вести расчеты методом группировки данных по часто­ там тху, который будет необходим и для расчета корреляцион­ ного отношения. Для определения параметров уравнения необхо­ димо рассчитать систему уравнений вида Следовательно, надо определить частоты шц. для у при опре­ деленных значениях х и рассчитать условные средние ух^ по каж ­ дому значению середины интервала х (см. раздел 2.8). Для этого составляем корреляционную таблицу (табл. 6.4). Разбив на ин­ тервалы оси X W у (рис. 6.1), проводим вертикальные и горизон­ тальные линии по этим интервалам, которые дадут нам столбцы или строи табл. 6.4.

Подсчитываем на рис. 6.1 число точек в каждой клетке, соот­ ветствующей определенному интервалу л: и г/, и заносим это число в корреляционную таблицу — в графу с такими же интер­ валами. Получаем частоты тх. значений у для определенного значения середины интервала X i.

.Корреляционная таблица связи меж ду урожайностью озимой пшеницы (у) и весенними запасами влаги (х) при числе стеблей пшеницы 2000—2600 на столбцам и находим для каждого столбца условное среднее ух.

по формуле Затем находим общее среднее значение у. По формуле у = Далее по табл. 6.5 рассчитываем суммы, указанные в системе уравнений, и, подставляя их в эти уравнения, получаем:

1 466 500с + 245 317 0006 + 42 088 570 000а = 43 824 750.

Решаем указанную систему уравнений.

Делим каждое уравнение на коэффициенты при с:

Вычитаем из второго и третьего уравнений первое и получаем систему из' двух уравнений с двумя неизвестными:

Делим каждое уравнение на коэффициенты при 6:

Вычитаем из второго уравнения первое, находим значение па­ раметра а:

Подставляя значение а в одно из предыдущих уравнений, на­ ходим значения параметра 6:

Подставляя значения а и 6 в одно из уравнений с парамет­ ром с, находим значение с:

с = 29,02— 158,07- (1,77)— 25728,07 — (—0,0052) = — 116,978.

Вносим значения параметров а, 6 и с в уравнение параболы второй степени общего вида и получаем искомое уравнение:

Находим теоретическую линию регрессии по данному уравне­ нию. Задавая различные значения х, вычисляем по ним у;

Наносим полученные точки с координатами Х \, у ь Х гУ г,..., Хдуэ на график и проводим по ним теоретическую кривую — параболу второго порядка (см. рис. 6.1).

Часто на графиках проводят такж е линии значений у, рассчи­ танных по уравнению с учетом ошибки уравнения { y ± S y ). Между этими ограничивающими линиями бывает заключено более Vs всех данных, вошедших в расчет уравнения связи.

Д ля нелинейной связи ошибка уравнения {Sy) вычисляется по формуле где Оу — среднее квадратическое отклонение, т] — корреляционное отношение.

Найдем корреляционное отношение, показывающее тесноту найденной параболической связи:

ления параметров уравнения параболы второй степени корреляционной табл. 6.4, по формуле Находим общую дисперсию по формуле Рассчитываем корреляционное отнощение Средняя ошибка корреляционного отношения равна Таким образом, т] находится в пределах т ]± а,,= Находим ошибку уравнения нелинейной регрессии по фор­ муле Согласно расчетам, = 48,44, следовательно, ay = 6,96, тогда Связь урожайности с весенними запасами влаги при загущении по­ севов (число стеблей больше 2000 на 1 м^), как видим, несколько хуже, чем при густоте стеблей 1000— 2000 на 1 весной (см.

рис. 2.4).

6.4. НАХОЖДЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЙ

КОРРЕЛЯЦИОННЫ Х СВЯЗЕЙ М ЕЖ ДУ ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ, СТЕПЕННЫХ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ КРИВЫХ

Часто связь между двумя переменными величинами выражена гиперболической кривой, уравнение которой в случае регрессии у по X имеет общий вид Как было изложено выше, метод наименьших квадратов при­ меним для линейных и параболических связей;

для других видов связей метод наименьших квадратов можно использовать для рас­ чета параметров уравнения только после некоторых преобразо­ ваний.

При нахождении параметров уравнения гиперболы обычно де­ лают замену переменных и приводят уравнение гиперболической зависимости к линейному виду. После этого находят параметры ли­ нейного уравнения методом наименьших квадратов или через г, Зависимость y — ajx + b можно свести к линейной, заменив \jx на х '. Тогда уравнение будет иметь вид у = ах' + Ь. Это, как из­ вестно, уравнение прямой линии.

Для нахождения параметров а я Ь уравнения гиперболы ме­ тодом наименьших квадратов необходимо значения л: заменить значениями х ' = \ 1х я составить систему необходимых уравнений.

Система нормальных уравнений для расчета параметров а и Ь в этом случае будет иметь вид Расчеты, необходимые для решения данных уравнений, прово­ дятся по таблице, аналогичной табл. 6.6. Подставляем полученные по таблице необходимые суммы в систему уравнений и решаем ее Обычным образом: 1) делим каждый член обоих уравнений на ко­ эффициенты при Ь и получаем два новых уравнения;

2) вычитаем из второго уравнения первое и находим параметр а\ 3) подстав­ ляя в одно из уравнений полученное-значение а, находим значе­ ние параметра Ь;

4) подставляя рассчитанные значения а и й в уравнение гипер­ болы, получаем окончательное искомое уравнение гиперболической связи;

5) задавая значения д: в найденном уравнении гиперболы, получаем значения г/ и строим теоретическую кривую линию ре­ грессии.

Параметры уравнения а и Ь при данной замене можно найти с помопдью определителей Д ля гиперболы в случае сгруппированных данных по корреля­ ционной таблице система уравнений имеет вид При гиперболической зависимости можно сделать другую з а ­ мену. Приведя уравнение гиперболы y = al x + b к общему знаме­ нателю, имеем х у = а + Ьх. Обозначаем х у через z и получаем урав нение прямой линии z = a + bx, параметры которого определяются системой уравнений Необходимые для решения.уравнений суммы вычисляются по таблице, аналогичной табл. 6.7.

Решая указанную систему уравнений, находим параметры а и Ь и, подставляя их в уравнение гиперболы, получаем искомое уравнение.

Значение параметров, или коэффициентов уравнения, а й Ь при данной замене можно вычислить также с помощью определи­ телей Корреляционная связь между двумя переменными величинами может быть выражена также степенными (6.18) и показательными (6.19) функциями Степенные и показательные функции приводят к линейным пу­ тем логарифмирования формулы. Если степенную функцию у = Ьх°‘ прологарифмировать, то получим Обозначив y '^ = lg y, x ' = l g x, \ g b = B, получим уравнение пря­ мой линии у ' = ах' + В. Таким образом, соотношение м еж ду I g r и Igi/ является 'линейным, и можно применять уже известные методы расчета для уравнений простой прямолинейной регрессии.

При расчете параметрой уравнения методом наименьших квад­ ратов или через г и а таблицы с данными наблюдений х и у пересчитывают на х ' или у ', т. е. берутся не сами величины, а их логарифмы.

B = l gb. Отсюда будем иметь у ' = —ах ' + В.

Если параметры а и В рассчитывают методом наименьших:

квадратов, то составляют следующую систему уравнений:

или (6.21) рассчитывают по таблице, аналогичной табл. 6.8.

Если параметры уравнения рассчитываются через коэффициент корреляции г и средние квадратические отклонения стж а,/» то пользуются таблицей, подобной табл. 6.9.

Определив параметр В, из соотношения \ g b = B находят пара­ метр Ь.

Связь между двумя переменными может быть также выражена, показательной (экспоненциальной) кривой, уравнение которой:

у = а Ь \ где а и 6 — параметры уравнения, постоянные коэффи­ циенты.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |
 




Похожие материалы:

«V bt J, / ' • r лАвНбЕ У П РА В Л Е Н И Е Г И Д Р О М Е Т Е О Р О Л О Г И Ч Е С К О Й С ЛУ Ж БЫ П Р И СОВЕТЕ М И Н И С ТРО В СССР Ц Е Н Т Р А Л Ь Н Ы Й И Н С Т И Т У Т П РО Г Н О З О В с. У Л А Н О В А Е. Применение математической статистики в агрометеорологии для нахождения уравнений связей сч БИБЛИОТЕК А Ленинградского Г идрометеоролог.ческого Ии^с,титута_ Г И Д РО М Е Т Е О РО Л О Г И Ч Е С К О Е И ЗД А Т Е Л Ь С Т В О (О Т Д Е Л Е Н И Е ) М осква — УДК 630:551.509. АННОТАЦИЯ В книге в ...»

«ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА РОССИИ ПО ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИИ И МОНИТОРИНГУ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ ГЛАВНАЯ ГЕОФИЗИЧЕСКАЯ ОБСЕРВАТОРИЯ им. А. И. ВОЕЙКОВА Е. Н. Романова, Е. О. Гобарова, Е. Л. Жильцова МЕТОДЫ МЕЗО- И МИКРОКЛИМАТИЧЕСКОГО РАЙОНИРОВАНИЯ ДЛЯ ЦЕЛЕЙ ОПТИМИЗАЦИИ РАЗМЕЩЕНИЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ КУЛЬТУР С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕХНОЛОГИИ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО РАСЧЕТА Санкт -Петербург ГИДРОМЕТЕОИЗДАТ 2003 УДК 551.58 Данная книга посвящена методам мезо- и микроклиматического райониро вания на основе новых ...»

«В. Г. Бешенцев В. И. Завершинский Ю. Я. Козлов В. Г. Семенов А. В. Шалагин Именной справочник казаков Оренбургского казачьего войска, награжденных государственными наградами Российской империи Первый военный отдел Челябинск, 2012 Именной справочник казаков ОКВ, награжденных государственными наградами Российской империи. Первый отдел УДК 63.3 (2)-28-8Я2 ББК 94(47) (035) И51 На полях колхозных, после вспашки, На отвалах дёрна и земли, Мы частенько находили шашки И покорно в кузницу несли… Был ...»

«С.Н. ЛЯПУСТИН П.В. ФОМЕНКО А.Л. ВАЙСМАН Незаконный оборот видов диких животных и дикорастущих растений на Дальнем Востоке России Информационно-аналитический обзор Владивосток 2005 ББК 67.628.111.1(255) Л68 Оглавление Предисловие 5 Ляпустин С.Н., Фоменко П.В., Вайсман А.Л. Незаконный оборот животных и растений, попадающих под требова Л98 Незаконный оборот видов диких животных и дикорастущих расте- ния Международной конвенции по торговле видами фауны и флоры, ний на Дальнем Востоке России. ...»

«НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ ЛИТЕРАТУРА Серия Из истории мировой культуры Л. С. Ильинская ЛЕГЕНДЫ И АРХЕОЛОГИЯ Древнейшее Средиземноморье Ответственный редактор доктор исторических наук И. С. СВЕНЦИЦКАЯ МОСКВА НАУКА 1988 доктор исторических наук Л. П. МАРИНОВИЧ кандидат исторических наук Г. Т. ЗАЛЮБОВИНА Ильинская Л. С. И 46 Легенды и археология. Древнейшее Средиземно­ морье / М., 1988. 176 с. с пл. Серия Из истории мировой культуры. ISBN 5 -0 2 -0 0 8 9 9 1 -5 В книге рассказано не только о подвигах, ...»

«ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ ЭТИКА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОРНО-АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра геоэкологии и природопользования И. А. Ильиных Экологическая этика Учебное пособие Горно-Алтайск, 2009 2 Печатается по решению методического совета Горно-Алтайского госуниверситета ББК – 20.1+87.75 Авторский знак – И 46 Ильиных И.А. Экологическая этика : учебное пособие. – Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2009. – ...»

«ЗАПОВЕДНИК ЯГОРЛЫК ПЛАН РЕКОНСТРУКЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ КАК ПУТЬ СОХРАНЕНИЯ БИОЛОГИЧЕСКОГО РАЗНООБРАЗИЯ Eco-TIRAS Дубоссары – 2011 ЗАПОВЕДНИК ЯГОРЛЫК ПЛАН РЕКОНСТРУКЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ КАК ПУТЬ СОХРАНЕНИЯ БИОЛОГИЧЕСКОГО РАЗНООБРАЗИЯ Eco-TIRAS Дубоссары – 2011 CZU: 502.7 З 33 Descrierea CIP a Camerei Naionale a Crii Заповедник Ягорлык. План реконструкции и управления как путь сохранения биологического разнообразия / Международная экол. ассоциация хранителей реки „Eco-TIRAS”. ; науч. ред. Г. А. Шабановa. ...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УФИМСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Институт геологии Башкирский государственный аграрный университет Р.Ф. Абдрахманов ГИДРОГЕОЭКОЛОГИЯ БАШКОРТОСТАНА Уфа — 2005 УДК 556.3 (470.57) АБДРАХМАНОВ Р.Ф. ГИДРОГЕОЭКОЛОГИЯ БАШКОРТОСТАНА. Уфа: Информреклама, 2005. 344 с. ISBN В монографии анализируются результаты эколого гидрогеологичес ких исследований, ориентированных на охрану и рациональное ис пользование подземных вод в районах деятельности нефтедобывающих, горнодобывающих, ...»

«Дуглас Адамс Путеводитель вольного путешественника по Галактике Книга V. В основном безобидны пер. Степан М. Печкин, 2008 Издание Трансперсонального Института Человека Печкина Mostly Harmless, © 1992 by Serious Productions Translation © Stepan M. Pechkin, 2008 (p) Pechkin Production Initiatives, 1998-2008 Редакция 4 дата печати 14.6.2010 (p) 1996 by Wings Books, a division of Random House Value Publishing, Inc., 201 East 50th St., by arrangement with Harmony Books, a division of Crown ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Костромской государственный технологический университет Костромское научное общество по изучению местного края В.В. Шутов, К.А. Миронов, М.М. Лапшин ГРИБЫ РУССКОГО ЛЕСА Кострома КГТУ 2011 2 УДК 630.28:631.82 Рецензенты: Филиал ФГУ ВНИИЛМ Центрально-Европейская лесная опытная станция; С.А. Бородий – доктор сельскохозяйственных наук, профессор, декан факультета агробизнеса Костромской государственной сельскохозяйственной академии Рекомендовано ...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КОЛЬСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Полярно-альпийский ботанический сад-институт им. Н. А. Аврорина О.Б. Гонтарь, В.К. Жиров, Л.А. Казаков, Е.А. Святковская, Н.Н. Тростенюк ЗЕЛЕНОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО В ГОРОДАХ МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ АПАТИТЫ 2010 RUSSION ACADEMY OF SCIENCES KOLA SCIENCE CENTRE N.A. Avrorin’s Polar Alpine Botanical Garden and Institute O.B. Gontar, V.K. Zhirov, L.A. Kazakov, E. A. Svyatkovskaya, N.N. Trostenyuk GREEN BUILDING IN MURMANSK REGION Apatity Печатается по ...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ОТДЕЛЕНИЕ БИОЛОГИЧЕСКИХ НАУК ГОРНЫЙ БОТАНИЧЕСКИЙ САД РОЛЬ БОТАНИЧЕСКИХ САДОВ В ИЗУЧЕНИИ И СОХРАНЕНИИ ГЕНЕТИЧЕСКИХ РЕСУРСОВ ПРИРОДНОЙ И КУЛЬТУРНОЙ ФЛОРЫ Материалы Всероссийской научной конференции 1-5 октября 2013 г. Махачкала 2013 1 Материалы Всероссийской научной конференции УДК 58.006 Ответственный редактор: Садыкова Г.А. Материалы Всероссийской научной конференции Роль ботанических садов в изучении и сохранении генетических ресурсов природной и куль турной флоры, ...»

«Зоны, свободные от ГМО Экологический клуб Эремурус Альянс СНГ За биобезопасность Москва, 2007 Главный редактор: В.Б. Копейкина Авторы: В.Б. Копейкина (глава 1, 3, 4) А.Л. Кочинева (глава 1, 2, 4) Т.Ю. Саксина (глава 4) Перевод материалов: А.Л. Кочинева, Е.М. Крупеня, В.Б. Тихонов, Корректор: Т.Ю. Саксина Верстка и дизайн: Д.Н. Копейкин Фотографии: С. Чубаров, Yvonne Baskin Зоны, свободные от ГМО/Под ред. В.Б. Копейкиной. М. ГЕОС. 2007 – 106 с. В книге рассматриваются вопросы истории, ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО Тамбовский государственный технический университет В.П. КАПУСТИН, Ю.Е. ГЛАЗКОВ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЕ МАШИНЫ НАСТРОЙКА И РЕГУЛИРОВКА Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по агроинженерному образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению Агроинженерия Тамбов Издательство ТГТУ 2010 УДК 631.3.(075.8) ББК ПО 72-082я73-1 К207 Рецензенты: Доктор ...»

«Н.Ф. ГЛАДЫШЕВ, Т.В. ГЛАДЫШЕВА, Д.Г. ЛЕМЕШЕВА, Б.В. ПУТИН, С.Б. ПУТИН, С.И. ДВОРЕЦКИЙ ПЕРОКСИДНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ КАЛЬЦИЯ СИНТЕЗ • СВОЙСТВА • ПРИМЕНЕНИЕ Москва, 2013 1 УДК 546.41-39 ББК Г243 П27 Рецензенты: Доктор технических наук, профессор, заместитель директора по научной работе ИХФ РАН А.В. Рощин Доктор химических наук, профессор, заведующий кафедрой общей и неорганической химии ФГБОУ ВПО Воронежский государственный университет В.Н. Семенов Гладышев Н.Ф., Гладышева Т.В., Лемешева Д.Г., Путин ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Тихоокеанский государственный университет Дальневосточный государственный университет О. М. Морина, А.М. Дербенцева, В.А. Морин НАУКИ О ГЕОСФЕРАХ Учебное пособие Владивосток Издательство Дальневосточного университета 2008 2 УДК 551 (075) ББК 26 М 79 Научный редактор Л.Т. Крупская, д.б.н., профессор Рецензенты А.С. Федоровский, д.г.н., профессор В.И. Голов, д.б.н., гл. науч. сотрудник М 79 Морина О.М., ...»

«ГРАНТ БРФФИ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ОО БЕЛОРУССКОЕ ГЕОГРАФИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО БЕЛОРУССКИЙ РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ФОНД ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЛАНДШАФТОВЕДЕНИЯ И ГЕОЭКОЛОГИИ (к 100-летию со дня рождения профессора В.А. Дементьева) МАТЕРИАЛЫ IV Международной научной конференции 14 – 17 октября 2008 г. Минск 2008 УДК 504 ББК 20.1 Т338 Редакционная коллегия: доктор географических наук, профессор И.И. Пирожник доктор географических наук, ...»

«Санкт-Петербургский государственный университет Биолого-почвенный факультет Кафедра геоботаники и экологии растений РАЗВИТИЕ ГЕОБОТАНИКИ: ИСТОРИЯ И СОВРЕМЕННОСТЬ Материалы Всероссийской конференции, посвященной 80-летию кафедры геоботаники и экологии растений Санкт-Петербургского (Ленинградского) государственного университета и юбилейным датам ее преподавателей (Санкт-Петербург, 31 января – 2 февраля 2011 г.) Санкт-Петербург 2011 УДК 58.009 Развитие геоботаники: история и современность: сборник ...»

«ФЮ. ГЕАЬЦЕР СИМТО СИМБИОЗ С МИКРООРГАНИЗМАМИ- С МИКРООРГАНИЗМАМИ ОСНОВА ЖИЗНИ РАСТЕНИЙ РАСТЕНИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО МСХА ИЗДАТЕЛЬСТВО МСХА МОСКВА 1990 МОСКВА 1990 Ф. Ю. ГЕЛЬЦЕР СИМБИОЗ С МИКРООРГАНИЗМАМИ — ОСНОВА Ж И З Н И Р А С Т Е Н И И ИЗДАТЕЛЬСТВО МСХА МОСКВА 1990 Б Б К 28.081.3 Г 32 УДК 581.557 : 631.8 : 632.938.2 Гельцер Ф. Ю. Симбиоз с микроорганизмами — основа жизни рас­ тении.—М.: Изд-во МСХА, 1990, с. 134. 15В\Ы 5—7230—0037—3 Рассмотрены история изучения симбиотрофного существования рас­ ...»






 
© 2013 www.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.