WWW.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 

Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
-- [ Страница 1 ] --

Е. С. У ланова, В. Н. Забелин

М ЕТОДЫ

КОРРЕЛЯЦИОННОГО

И РЕГРЕССИОННОГО

А Н А Л И ЗА

В АГРОМ

ЕТЕОРОЛОГИИ

ЛЕНИНГРАД ГИДРОМЕТЕОИЗДАТ 1990

УДК 630 : 551 + 551.509.314

Рецензент д-р физ.-мат. наук О. Д. Сиротенко

П ервая часть книги содерж ит основы корреляционного и рег­

рессионного анализа. Рассмотрено применение статистических мето­

дов для нахож дения линейных и нелинейных связей. Д аны примеры расчета различных уравнений регрессии из агрометеорологии.

Во второй части книги главное внимание уделено более слож ­ ным регрессионным моделям, развиваю щ им классические методы регрессионного анализа. Такие модели, как гребневой, робастной регрессии и ряда других, быстро развиваемы е в последние годы, позволяю т расширить применение статистических методов в агро­ метеорологии. Д аны практические примеры использования у казан ­ ных моделей и рекомендации по статистическому моделированию.

Книга- мож ет быть полезна агрометеорологам, гидрометеороло­ гам, географам, специалистам сельского хозяйства, а так ж е студен­ там гидрометеорологических, сельскохозяйственных и других вузов.

The first p a rt of “C orrelation and R egression an aly sis in agro m eteorology” by U lanova E. S. and Z abelin V. N. is devoted to the b a sic 'id e a s of co rrelatio n and reg ressio n analysis. I t is illu stra te d by m any sim p le-an d useful exam ples. In the second p a rt the m ain a tte n ­ tion is paied to advanced reg ressio n m ethods such as ridge, robust and others, elab o rated in the la st years. These m ethods expand the reg io n of classic reg ressio n an aly se in agrom eteorology.

A uthors also give practical recom m endations on sta tistic a l m odel­ lin g of w eather-crop relations.

The “C o rrelatio n and R egression an aly sis in agro m eteo ro lo g y ” is m eant for specialists in agrom eteorology and ag ricu ltu re, as w ell as for the stu d en ts of agro m eteo ro lo g ical and a g ricu ltu ra l institutes.

JieH»HrpaACKH«..'р о м е т е о р о л о г и ч е с к к й и н - т В И БЛ И О Т ьК А Y 3702030000^ - 069 (0 2 )-9 0 « © Е. С. Уланова, В.Н. Забелин, 1990 г.

ISB N 5-286-00424-

ПРЕДИСЛОВИЕ

А грометеорологические исследования основы ваю тся ч ащ е всего на обш ирны х м атер и ал ах агром етеорологических н аб лю д е­ ний и п роводятся в основном с использованием методов м а те м а ­ тической статистики.' В р езу л ьтате этих исследований и статистической обработки массовы х м атери алов сопряж енны х наблю дений з а разви тием и состоянием сельскохозяйственны х культур, урож айностью и агр о ­ метеорологическими условиям и был найден ряд важ н ы х зак о н о ­ мерностей, на основе которы х р азр а б о та н ы количественны е ме­ тоды, составляю щ и е научны й фонд агрометеорологии.

И спользовани е ЭВ М значительно расш ирило и углубило в о з­ мож ности статистического м одели ровани я во всех об ластях н ауки и техники. В Настоящ ее врем я практически сняты ограничения на объем и слож ность проводимы х вычислений. Д оступность ЭВМ, оснащ енны х п акетам и статистических програм м, п озволяет при м иним альной м атем атической подготовке исследователя про­ водить обш ирны е расчеты с помощ ью достаточно слож ны х стати ­ стических методов. В последние год ы зн ачительн ое разви ти е по­ лучили и методы регрессионного ан ал и за. В то ж е врем я следует отметить явно недостаточное количе­ ство отечественной специальной ли тературы по м атем атической статистике в применении к агром етеорологии. В основном это книги В. М. О бухова [22], Е. С. У лановой [29, 30] и О. Д. Сиро тенко [30], и зданны е более 20 лет н азад. П оэтом у п убликация настоящ ей р аб о ты по м етодам корреляционного и регрессионного ан а л и за в агром етеорологии яв л яе тся край н е необходимой.

П е р в а я часть п ред лагаем ой книги п ред н азн ачен а для. сп ец и а­ листов, начинаю щ их изучение м атем атической статистики. В ней излож ен ы основы корреляционного и регрессионного ан ал и за и рассм отрено прим енение статистических методов д л я н ахож д ен и я линейны х и нелинейны х связей. Д а н ы расчеты уравнений регрес­ сии с использованием м алой вы числительной техники. П риведены п ракти ческие прим еры из агрометеорологии.

Во второй части книги описаны последние д остиж ения н ауки в р азви ти и методов регрессионного ан ал и за;

гребневого, ро б аст­ ного и др. П ри веден ы н аи более известны е методы автом ати ч е­ ского вы б ора предикторов и описаны критерии их отбора. У де­ лено вним ание улучш ению построенной модели с помощ ью а н а ­ недостаточно ш ироко освещ енном у вопросу идентиф икации р езко вы деляю щ ихся дан ны х (в ы б р о со в).

В помощ ь специалистам, не владею щ им матричной алгеброй, в гл. 7 приведены некоторы е сведения из этой области в объем е, достаточном д л я поним ания излож енного м атер и ал а.

П е р в а я часть книги (гл. 1— 6) н ап и сан а Е. С. У лановой, вто­ р а я часть (гл. 7— 12) — В. Н. Забели н ы м.

ОСНОВЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО

И РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

МЕЖ ДУ ПЕРЕМ ЕН НЫ М И ВЕЛИЧИНАМИ

1.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ и СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВЯЗИ.

АРГУМЕНТ И ФУНКЦИЯ. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ

Я вления повседневной ж изн и неразры вно связан ы с числам и й измерениям и. П ри наличии больш ого числа наблю дений и и з­ мерений возни кает необходимо,сть свести п ервоначальную м ассу данны х к небольш ом у числу п оказателей, к определенной системе и форме, т а к к а к никакой человеческий ум не способен вместить в себя больш ое количество разрозн ен н ы х числовы х данны х. П е ­ ред и сследователям и в стал а за д а ч а в относительно небольш ом числе сводных п оказателей отразить важ н ую и сущ ественную законом ерность, содерж ащ ую ся в данной м ассе наблю дений и и з­ мерений. Б ы л р азр аб о тан особый род научного м атем атического м етода, которы й н азы вается статистическим методом или м ате­ м атической статистикой. ' К а к н ау ка м атем ати ч еская статистика яв л яется одним из р а з ­ делов м атем атики и ее мож но рассм атри вать к а к м атем атику, прим еняем ую при об раб отке результатов массовы х наблю дений.

В м атем атической статистике, к а к и во всей м атем атике, одна и т а ж е ф орм ула м ож ет одинаково относиться к самы м различны м объектам. ^П оэтом у статистические методы прим еняю тся во мно­ гих об ластях знаний. О днако необходимо иметь в виду, что н а ­ учная статистика д о л ж н а бази роваться на п редварительном к а ­ чественном ан ал и зе и не м ож ет использоваться в отры ве от р е­ альной природы объекта исследования.

Одним из центральны х р азд ел о в м атем атической статистики яв л яе тся теория корреляции, которая изучает взаи м освязь, в за и ­ мозависим ость м еж д у исследуемыми величинам и (латинское слово c o rrelato озн ач ает соотнош ение, в за и м о с в я з ь ).

И зучением зависим остей м еж д у различны м и явлен и ям и за н и ­ м ается л ю б ая н аука, т а к к а к к аж д о е явление в природе и об щ е­ стве не во зн и кает само по себе, а н аходится в связи с другим и явлениями.

Д иалекти чески й подход к изучению природы и общ ества тр е­ бует рассм отрения явлений в их взаи м освязи и непреры вном из­ менении. Теория корреляции позволяет вы разить эти взаи м освязи в количественной форме.

Н аиболее просты м видом связи м еж ду величинам и яв л яется ф ун кц ион альн ая, когда каж д о м у значению одной величины соот­ ветствует одно и только одно вполне определенное значение д р у ­ гой.

К ф ункциональны м связям относятся, наприм ер, следую щ ие:

связь м еж д у силой тока I, н ап ряж ени ем Е и сопротивле­ нием R-.

связь м еж д у давлен ием р, тем пературой Т и объём ом V газа :

{R — постоянный к о эф ф и ц и ен т);

связь м еж д у радиусом R длиной С окруж ности:.

Ф ункциональны е связи м еж д у перем енны ми величинам и и зу­ ч аю тся в специальном разд ел е м атем атики — м атем атическом ан ал и зе;

Они х ар актер н ы д л я количественны х соотнош ений в об­ л аст и астрономии, м еханики, физики. В природе ж е ч ащ е всего наб лю д аю тся неф ункциональны е _связи, когда п ерем ен ная вел и ­ чина у изм еняется главны м образом в зависим ости от другой пе­ ременной X, но на изменение первой влияет т а к ж е множ ество д р у ­ гих дополнительны х ф акторов, учесть которы е подчас невозм ож но, и тогда каж д о м у значению х,соответствует несколько значений у.

Т аки е связи (зави си м ости), когд а численному значению одной величины X соответствует не одно, а несколько значений другой величины у, т. е. ц ел ая статистическая совокупность значений у, группирую щ ихся лиш ь около некоторой средней величины ух, н азы ваю тся статистическими, или корреляционны ми.

С читаю т, что у находится в корреляционной зависим ости от л, если, во-первых, каж д о м у значению аргум ен та х соответствует р яд распределени я ф ункции у, во-вторы х, с изменением х эти ряд ы у законом ерно изм еняю т свое полож ение.

Ч асто В' л и тер ату р е встречается и так о е определение ко р р е­ ляции;

связь м еж ду перем енны ми величинам и х я ’у н азы вается статистической, или корреляционной, если различны м значениям одной из них (х) соответствую т определенны е групповы е средние зн ач ен и я другой (г/х) или наоборот.

В так и х сл у ч аях ч ащ е всего одна величина рассм атри вается к а к н езави си м ая перем енная, н азы вается аргументом и о б о зн а­ ч ается буквой х\ д р у гая яв л яе тся зависим ой переменной, н а зы в а ­ ется функцией и обозн ачается буквой у. Н априм ер, если опреде­ л яю т связь урож айн ости сельскохозяйственны х культур с коли ­ чеством осадков, то ясно, что в данном случае независимой п ер ем ен н о й —-аргум ентом ( х ) — будут осадки, а зависим ой ф унк­ цией ( у ) — урож айность, а не наоборот.

О днако не всегда т а к просто бы вает вы би рать зависим ую и независим ую переменны е, поскольку часто надо найти связь ме ж д у взаим овлияю щ им и и взаим озависим ы м и явлениям и. В этом случае одну величину условно принимаю т за аргум ент л:, а д р у ­ г у ю — искомую — за функцию у. Н априм ер, н аход я связь м еж д у " зап ас ам и влаги в различны х слоях почвы (О— 20 и 20— 50 см ), зап асы влаги в йерхнем слое (0— 20 см) мож но условно принять за аргум ент х, а зап асы вл аги в слое 20— 50 см — за функцию у и рассчитать уравн ен ие относительно у (см. р азд ел 2.8).

Главной зад ач ей исследования статистических связей м еж ду различны м и переменны ми величинам и яв л яется вы яснение на ос­ нове больш ого числа наблю дений поведения функции у в зав и си ­ мости от изменения главного своего аргум ен та х при условии, что другие аргум енты не изм еняю тся. О днако в природе такого усл о­ вия быть не м ож ет. Эти другие аргум енты т а к ж е изм еняю тся и тем самы м в различной степени затуш евы ваю т и и скаж аю т и нте­ ресую щ ие нас зависим ости. П оэтому, оп ред еляя зависим ость од ­ ной величины у от другой, главной { х), необходимо зн ать, хотя бы в общ ем, степень влияни я на других, дополнительны х, и зм е­ няю щ ихся, но неучтенных ф акторов. Если эта величина м ал а, то, 'з н а я X, мож но достаточно точно определить у. Если ж е влияние дополнительны х ф акторов велико, то у и х слаб о связан ы м еж ду собой, и с изменением л: н ельзя достаточно точно определить по­ О пределение степени влияния главны х учиты ваем ы х ф акторов и дополнительны х неучтенных яв л яе тся второй зад ач ей теории корреляции.

П ер вая за д а ч а теории корреляц ии реш ается путем определе­ ния формы связи и н ахож д ен и я уравн ен ия этой связи двух или нескольких переменны х величин. В торая за д а ч а реш ается путем расчета различны х п оказател ей тесноты связи, которы е д аю т оценку степени рассеяния значений у д л я разны х значений х.

1.2. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ

КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СВЯЗЕЙ И ИХ УРАВНЕНИЯ

_ О бщ ий вид уравн ен ия корреляционной связи y ^ f ( x ). В н аи ­ более точном вы раж ен и и y x i = f { X i ) или y i = f { X i ). Здесь f{Xi) п р ед ставл яет собой определенную однозначную функцию, д а ю ­ щую возм ож ность по Xi находить приближ енно соответствую щ ие средние величины yi (t = 1, 2, 3,..., п — зн ак 'порядкового ном ера наблю дений, п — общ ее число н аб лю ден и й). Это уравнение н а ­ зы вается уравнением регрессии iy до х, где х — аргум ент, & у — функция.

М ож но т а к ж е уравн ен ие находить в отнош ении х, когда Xi п р ед ставл яет собой условную среднюю значений х, вы числяем ую по условном у распределению х, соответствую щ ему yt. Тогда и н азы в а ет ся 'у р ав н ен и е м регрессии л;

по г/. В данном случае х, п риобретает зн ачен ия функции, а уг — аргум ента.

м ож но р ассм атр и вать д в а различны х вида связи: у по а: и х по у. По этим связям н аходят п риближ енны е формулы, в ы р а ж аю ­ щ ие зависим ость м еж д у зн ачен иям и х, и средними зн ачен иям и г/г -или наоборот. Т аки е ф ормулы, полученные на основе статистиче­ ского ан ал и за эксперим ентальны х данны х, н азы ваю тся эм пири­ ческими.

ф орм ул;

ф орм улы д аю т резул ьтаты в разн ой степени п ри б ли ж ен ­ ного х ар а к тер а. О ценка точности статистических (корреляц ион ­ ных) зависим остей и полученных эмпирических форм ул п роизво­ д и тся на основании.корреляционного ан ал и за.

К а к у ж е отм ечалось, первой зад ач ей теории корреляц ии и корреляционного ан ал й за яв л яется выбор формы связи перем ен­ ных величин, состоящ ий в определении вида функции y i = f( Xi).

И з встречаю щ ихся форм корреляционны х связей н аи более р а с ­ пространены и изучены линейные. О днако н аблю даю тся и н ели ­ нейные связи. Н е всегда за д а ч а вы бора фОрмы связи б ы вает л е г­ кой. П ри граф ическом изображ ен и и статистической связи часто точки расп о л агаю тся так, что м ож но провести несколько линий р азли чн ы х типов. Н апри м ер, п р ям ая линия, гипербола или п а­ р аб о л а могут совп ад ать на больш ей части граф и ка. П оэтом у при вы боре формы связи (типа линии связи ) необходимо п реж д е всего учиты вать х ар актер н ы е особенности линии связи, вы текаю щ ие непосредственно из сам ой физической сущ ности изучаем ого я в ­ ления. Т аким о б разом, вы бору д олж ен п редш ествовать логиче­ ский ан ал и з, обусловленны й знанием общ их законом ерностей ис­ следуем ы х явлений.

Д л я вы бора формы статистической связи нужно-^сорошо зн ать р азли чн ы е типы линий и их уравнения.

Обычно в у равн ен иях перем енны е величины, м еж д у которы ми ищ ется связь, обозначаю тся последними буквам и латинского а л ­ ф ав и та: X, у, Z, и, V, а постоянны е коэф ф ициенты при этих пе­ рем енны х (п ар ам етры уравн ен ия) обозначаю тся первы м и бук­ вам и ал ф ави та: а, 6, с, с? и т. д.

ч ащ е всего встречаю тся следую щ ие типы линий и их уравн ен ия (рис. 1.1).

О п и сы вается уравнением этой прям ой г/ = ах. Здесь п р ед п о л ага­ ется, что а 0. И м еем прямую пропорциональную зависим ость у от X, в которой необходимо определить один п арам етр а. Л и ­ нии этого типа следует вы би рать в том случае, когда по см ы слу 2. П р я м ая, не п роходящ ая через н ач ал о координат. О писы ­ (рис. 1.1 б ). И меем соответственно линейную прямую и лин ей ­ ную обратную зависим ость у от х, в которой необходимо опреде­ лить д в а п ар ам етр а: а я Ь.

3. П а р аб о л а, сим м етричная одной из осей координат, с в ер ­ шиной в н ач ал е координат (рис. 1.1 г). О писы вается уравнением Рис. 1.1. Основные тины линий различных форм связи меж ду у==ах^. Т аким и п ар аб о л ам и и зо б р аж аю тся зависим ости, где одна из величин, X или у, пропорциональна к в ад р ату другой. Ф ор­ м у л а содерж ит один п арам етр а. П ри увеличении абсолю тного зн ачен ия этого п ар ам етр а ум еньш ается «раствор» п араболы.

сы вается уравнением у = ах^+Ьх-{-с. Ф ункция квад рати ч еск ая.

Н ап р авл ен и е вы пуклости п араб ол ы зави си т от зн а к а п ар ам етр а а.

П ри полож ительном п ар ам етр е вы пуклость п араб ол ы н ап равл ен а вниз (рис. 1.1(3), при отрицательном — вверх (рис. 1.1 е ). Линии этого типа вы би раю тся при наличии одного м акси м ум а или од ­ ного м иним ума, и кривы е симметричны относительно их. В, ф ор­ м уле необходимо определить три п ар ам етр а: а, Ь я с.

5. Гипербола, асим птотически п ри б л и ж аю щ аяся к осям коор­ д и н ат (рис. 1.1 ж ). О писы вается уравнением у = с1х. И м еем об ­ ратно пропорциональную зависим ость у от х, где необходимо определить один п арам етр с.

6. Г ипербола, асим птотически п ри б л и ж аю щ аяся к прям ы м, п ар ал л ел ьн ы м осям координат (рис. 1.1 з ). О писы вается уравне нием у = ----------- \-Ь. Ф орм ула содерж ит три п арам етра. П а р а м етры а я Ь явл яю тся коорд и натам и точки М. З н а к п ар ам етр а с зави си т от располож ени я гиперболы в отнош ении асимптот.

7. С тепенны е кривы е (рис. 1.1 w, к ). О писы ваю тся уравнением у = ах'^, где т м ож ет быть целым или дробны м. Ч астны м сл у ­ чаем степенны х функций явл яю тся п ар аб о л ы (рис. 1.1 г) и ги­ перболы (рис. 1.1 ж, з ).

8. П о к азат е л ь н ая кри вая, когда с возрастани ем одной вели ­ чины {х) значительно в о зр астает д р у гая { у ). О писы вается у р а в ­ нением у = а^ (рис. \. \ л ).

П осле того к а к установлен а ф орм а связи, вы бран ы тип линии и вид общ его уравн ен ия связи, приступаю т к вычислению п а р а ­ метров у равн ен ия данной связи и определению ее тесноты.

ДВУХ П ЕРЕМ ЕН Н Ы Х ВЕЛИЧИН

2.1. КОРРЕЛЯЦИОННОЕ ПОЛЕ. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТАБЛИЦА.

П ри исследовании различны х явлений часто требуется у стан о­ вить связь м еж д у д вум я перем енны ми величинами. К а к у ж е отм е­ чалось, наиболее распространенной и хорош о изученной с по­ мощ ью м атем атической статистики формой связи яв л яется л и ­ нейная.

К орреляц и я м еж ду случайны ми переменны ми величинам и л: и у н азы вается линейной корреляцией, если функции регрессии y = f i { x ) И'x ==f z {y ) явл яю тся линейными. В этом случае при г р а ­ фическом изображ ен и и обе линии регрессии прямы е. Они н азы ­ ваю тся прям ы м и регрессии и в ы р аж аю тся следую щ ими у р ав н е­ ниями:

линейное корреляционное уравн ен ие регрессии у по х линейное корреляционное уравн ен ие регрессии д: по у П ар ам етр а в (2.1) н азы вается коэффициентом регрессии у по X и о б озн ачается А налогично ему п арам етр а, в (2.2) н а ­ зы вается коэффициентом регрессии х по г/ и обозначается pxjy.

К оэф ф ициент регрессии ai одновременно яв л яется и угловы м коэффициентом прям ой регрессии у по х:

К оэф ф ициент регрессии а не яв л яется угловы м коэф ф и ци ­ ентом соответствую щ ей прям ой регрессии л: по у. У гловым коэф ­ фициентом яв л яется величина, о б р атн ая коэф ф ициенту р е­ грессии;

Р асч ету корреляционны х уравнений, коэффициентов регрессии и п о казател ей тесноты связи обычно предш ествует первичный ан ал и з, си стем ати зац и я имею щ егося м атер и ал а наблю дений и его статистическая обработка.

Обш ирный м атери ал данны х наблю дений за двум я перем ен­ ными величинами, связь м еж ду которы ми надо определить, н е­ обходимо сн ач ал а п роан ал и зи ровать с точки зрен и я соответст­ вия данны х общ им законом ерностям изменения того или иного я в ­ ления и его взаи м освязи с другим и явлениям и. П осле ан ал и за и о т б р ак о в к и ош и б очн ы х-дан н ы х м атери ал наблю дений п ред став­ л я е т с я в виде таблицы -сводки, гд е у к а зан ы соответствую щ ие д руг другу пары значений Xi и yi (табл. 2.1). Здесь Xi об означает независим ую переменную (аргум ен т), а г/г — зависим ую перем ен­ ную (ф ункцию ), i — лю бой порядковы й номер х или у, от 1 до п, п — общ ее число пар наблю дений xvl у.

Д л я определения линейности связи необходимо п реж де всего построить граф и к этой связи. Д л я этого д ан ны е каж д ой пары значений х и г/ в виде точки д олж н ы быть нанесены на граф и к в прям оугольной системе координат. Г раф и к кром е формы связи п озволяет увидеть я тесноту связи. Д л я р азб о р а основных э л е ­ ментов теории корреляц ии в качестве п рим ера проан али зируем связь м еж д у зап ас ам и продуктивной вл аги в разли чн ы х слоях почвы осенью под озимой пшеницей. Э та связь бы ла получена по данны м ф актических наблю дений гидром етеорологических стан ­ ций з а зап ас ам и в л аги осенью на полях озимой пш еницы в ю ж ­ ных р ай он ах У краины, [29].

ных слоях почвы осенью под озимой пшеницей.

К ак известно, в начальны й период р азви ти я и роста озимой пш еницы осенью д л я о ц ен к и -и п р о гн о за -ее влагбобеспеченности агром етеорологам в аж н о зн ать зап ас ы продуктивной вл аги в верх­ них слоях почвы до п олум етра. Т а к к а к в засуш ли вы х ю жны х р ай он ах при продолж ительной осени корн евая систем а озимой пш еницы к моменту прекращ ен и я вегетации осенью м ож ет дости ­ гать глубины' 20— 40 см, то кром е зап асов в л аги в почве важ н о зн ать и их распределени е по слоям.

В приведенном случае ан ал и зи ровали сь дан ны е о за п а с а х про­ дуктивной влаги в верхнем 20-сантим етровом слое почвы и в слое от 20 до 50 см глубины (рис. 2.1).

.З а независим ую переменную х условно были взяты зап асы в л аги в слое О— 20 см, а з а зависим ую переменную г/ — зап асы в л аги в слое 20— 50 см. Такой выбор аргум ен та и функции о б ъ ­ ясн яется тем, что дан ны е о за п а с а х влаги в слое почвы О— 20 см или могут быть получены в резул ьтате наблю дений, или, рассчи­ тан ы разны м и методами, в то врем я к а к д л я расчета зап асов вл аги в слое 20—50 см методов н е было.

С ледовательно, при ан ал и зе м атер и ал а наблю дений в первую очередь важ н о определить, относительно какой величины искать уравнение. Ту величину, которая известна при расчетах и прогно­ зах, следует считать аргум ентом х, а неизвестную величину, ко ­ торую надо рассчитать по искомому уравнению, — функцией у и искать уравнение в отнош ении у.

П олучив 135 случаев пар наблю дений за зап асам и влаги в слоях почвы О— 20 и 20— 50 см, зап и сы ваем их сн а ч а л а в виде простой таблицы -сводки, где под одним порядковы м номером зап и сы ваю тся пары значений х я у. З а тем д л я вы яснения линей­ ности связи строим граф ик, о ткл ад ы в ая в прямоугольной системе координат по оси х зн ачен ия зап асов влаги в слое почвы О— 20 см, а по оси у — зн ачен ия зап асов влаги в слое почвы 20— 50 см. Т аким образом, получаем д л я каж д ого порядкового но­ м ера сводной табли цы на плоскости точки с координатам и х^ух, Х2У2,..., Xi35«/i35. Это поле точек н азы вается полем корреляции, или корреляционны м полем у х (см. рис. 2.1).

Е сли число случаев пар наблю дений велико (больш е 100), то корреляционное поле имеет вид более или менее правильного э л ­ липса со сгущ ением точек в центре и сравнительно редким их располож ением на периферии. О тклонение осей элли п са от коор­ динатны х направлен ий ук азы в ает на наличие корреляции. В ы тя нутость ж е эллипса не всегда яв л яется ее объективны м п о к аза те­ лем, т а к к а к зави си т от приняты х м асш табов по осям координат.

П о корреляционном у полю мож но судить о ф орме и тесноте связи.

. Н а основе полученного граф ического поля корреляции при больш ом числе наблю дений продолж аю т дальнейш ую систем ати­ зацию данны х путем их группировки и построения корреляц ион ­ ной табли цы, или корреляционной реш етки.

К орреляц и онн ая таб л и ц а строится по и н тервал ам значений х и у, вы бранны м сам им исследователем. Д л я этого на граф и к, где изображ ен о поле корреляции, наносят координатную сетку через точки, которы е определяю т границы вы бранны х интервалов, значений д л я х я у (см. рис. 2.1). Т аким образом все поле р азб и ­ вается на верти кальн ы е и горизонтальны е столбцы, которы е н а ­ зы ваю тся строями.

В следствие пересечения строев плоскость корреляционного поля р азб и вается на прямоугольники или клетки. П одсчитав число точек в каж д о м прям оугольнике, которы й соответствует определенны м значениям интервалов л: и у, и зап и сав эти д ан н ы е в виде табли цы, получим корреляционную табли цу, или к о р р е л я­ ционную реш етку, которая удобна д л я проведения дальн ей ш и х операций по нахож дению линий регрессий и их уравнений.

Интервал К орреляционную табли цу (табл. 2.2) мож но строить непосред­ ственно по первичной табли це-сводке, не п рибегая к граф и ч е­ ском у построению корреляционного поля. В этом случае уста-, н авл и ваю тся нуж ны е интервалы д л я значений д: и г/ и д ел ается в ы б орка данны х по этим интервалам. В резул ьтате получаю т ч а­ стоту (гпху) сочетаний значений х я у определенны х и нтервалов.

Н а пересечении каж д ого вертикального столбц а и горизон­ тальной строки зап и сы ваю т частоту гпху, показы ваю щ ую, сколько р аз при данном значении х встречались у казан н ы е зн ачен ия у или наоборот.

В предпоследню ю строку и предпоследний столбец вписы ваю т суммы частот по столбцам и строкам :

(n — общ ее число н аб лю д ен и й ). Зн ачки х и у н ад зн ак ам и сумм обозначаю т сум м ирование вдоль столбц а или вдоль строки, т. е.

5] обо зн ачает сум м ирование частот у по и н тервал ам при неизмен ном X, а 'Z, — сум м ирование частот х по и н тервал ам при н еи з­ менном у.

В последню ю строку и последний столбец вписы ваю т в зве­ ш енны е по частотам условны е средние {ух и х у ) значений у я х по столбцам и строкам :

Суммы величин, стоящ их в предпоследней строке и предпо­ следнем столбце, долж н ы быть равн ы общ ем у числу н аб лю д е­ ний п:

В предпоследние клетки последней строки и последнего столца вписы ваю т подсчитанны е общ ие средние взвещ енны е з н а ­ чения всех у и X, т & у п х. Они могут быть вычислены к а к сред­ ние всех у или X, взвеш енны е по ч астотам т х у, или к а к средние из Ух и Х у, взвеш енны е по частотам Шх или т у \ лицы значений Ху д л я каж д ого зн ачен ия у с указан и ем частот.

Е сли частоты располож ены вниз н аправо, то связь м еж ду вел и ­ чинами п р ям ая, т. е. при увеличении х увеличивается у. Если ж е частоты располож ены по д иагонали вверх направо, то связь об­ р атн ая, т. е. увеличением х ум еньш ается у.

П о корреляционной таб л и ц е легко м ож но построить граф и ч е­ ское поле корреляции, н ак л ад ы в ая на координатную плоскость сетку, соответствую щ ую и нтервалам таблицы, и и зо б р а ж ая ч а ­ стоту каж д о й клетки в виде соответствую щ его числа точек, р а в ­ номерно распределенны х внутри клетки. П одобное поле ко р р е­ ляции, составленное на основе корреляционной таб л и ц ы по ч а ­ стотам интервалов, н азы вается вторичным корреляционны м полем К орреляц и онн ая таб л и ц а об легчает построение эмпирической и теоретической линий регрессии и расчет уравнений регрессии методом группировки данны х, о чем будет ск азан о в разд ел е 2.8. О днако следует помнить, что корреляц ион н ая таб л и ц а стро­ ится обычно при больш ом числе п ар наблю дений (больш е 100).

П ри небольш ом числе данны х корреляционны е таб л и ц ы по и нтервалам строить не реком ендуется. П ри об раб отке ко р р е л я­ ционной табли цы считаю т, что число случаев в каж д ой клетке относится к серединам интервалов, а это при м алом числе н аблю дений м ож ет д ать зам етн ы е ошибки.

К ром е того, интервалы не долж н ы быть больш ими, иначе д а н ­ ные будут и скаж ен ы и часть их п отеряется, т а к к а к вместо ф а к ­ тических данны х наблю дений при группировке берутся условные, относящ иеся к серединам и нтервалов. Д о к аза н о, что потеря ин­ ф орм ации, обусловленн ая группировкой, составл яет менее 1 %»' если и нтервал группировки не превосходит четвертую часть сред­ него квадрати ческого отклонения а (см. р азд ел 2.3). П ри н а д л е ­ ж ащ ем подборе и н тервал а группировки ущ ерб в отнош ении точ ­ ности невелик, к тому ж е значительно сокращ аю тся затр а ты тр у д а на о б раб отку данны х.

ных слоях почвы осенью под озимой пшеницей В наш ем прим ере, где ищ ется связь м еж д у зап ас ам и влаги в различны х слорх Почвы, число пар наблю дений х и у состав­ л яе т 135 ( я = 1 3 5 ), поэтому мож но построить корреляционную таб л и ц у (табл. 2.3). Это легко сд ел ать на основе построенного поля корреляц ии (см. рис. 2.1).

Б ерем по осям х я у интервалы значений, равн ы е 5 мм, и строим по ним сетку, р азб и в а я все поле на клетки. Т аки е ж е и нтервалы берем д л я корреляционной табли цы, д е л а я в ней т а ­ кую ж е сетку, к а к и на граф и ке, но с указан и ем значений сере­ дин интервалов по л: и у. З а те м подсчиты ваем число точек на гр аф и ке в каж д о й клетке и вписы ваем это число в соответствую ­ щ ую кл етку таб л и ц ы с теми ж е и н тервал ам и значений. Н а п р и ­ мер, на гр аф и ке в клетке при х от 10 до 15 мм и при у от 20 до 25 мм мы имеем 9 точек. В клетку таб л и ц ы д л я этих ж е интер­ вал о в X я у зап и сы ваем циф ру 9 и т. д. П олучив частоты по столбцам и строкам, склады ваем их по в ерти кал ям и горизонта Пример составления таблицы корреляционной связи меж ду запасами влаги Интер­ дина л ям. Н апри м ер, сум м а частот у при х = 7,5 р ав н а 16, а при х = = 12,5 сум м а частот у р ав н а 27 ( 2 /П7,5=16, 2 m i 2,b = 27 и т. д.).

З а т ем подсчиты ваем суммы частот х при различны х значениях середин интервалов у. Н апри м ер, 2 /^ i2,5 = = 7, 2 ] m i7,5 = 1 4 и т. д.

Ч астн ы е суммы частот л: д л я середин различны х интервалов у суммируем и получаем общ ую сумму частот 2 / ^ г / = 135. Т ак ж е сум мируя все частоты у по серединам интервалов х, получаем 2 ) т ж = 1 3 5. П осле этого приступаем к расчету средних взвеш ен ­ ных значений ух и Ху по столбцам и строкам.

В таб л. 2.3 имеем восемь столбцов с различной частной сум ­ мой частот г/. С ледовательно, необходимо найти восемь условных средних значений у*.. Это д ости гается путем сум м ирования по в ерти кали произведений числа частот каж д ой клетки на соот­ ветствую щ ее значение середины и н тервал а у и делен и я этой суммы на тх.

П о гори зонтали в таб л. 2.3 надо рассчитать 10 условны х сред ­ них значений ху, которы е находим путем сум м ирования по го­ ри зонтали произведений числа частот каж д ой клетки на соот­ ветствую щ ее зн ачение середины и н тервал а х и делен и я этой сум мы на ту. Н ачинаем со второй строки, т а к к а к в первой строке значений х нет:

П олучив условны е средние взвеш енны е зн ачен ия у х и Ху по строям, находим общ ие средние взвеш ен н ы е зн ачен ия всех у = ------ -------= -----------------------------— ------------------------------- 6 0, 0, И зап и сы ваем их в корреляционную таблицу.

Р ассчи тав условны е средние зн ачен ия у х и Ху, а та к ж е общ ие средние у и х, мож но приступить к построению эмпирических л и ­ ний регрессии у по х и х по г/.

П о дан ны м корреляционной табли цы построим вторичное поле корреляц ии (рис. 2.2), нанося в каж д ую кл етку на граф и ке число точек, соответственно числу частот в таб л и ц е и расп р ед еляя их равном ерно по клетке, ограниченной вы бранны м и интервалам и.

П осле этого наносим на гр аф и к д ан ны е восьми условных сред ­ них значений у х д л я середин интервалов х и общ ее среднее з н а ­ чение у. С оединяя точки средних значений, получаем ломаную линию, которая н азы вается эмпирической линией регрессии у тер в ал о в у, а т а к ж е общ ее среднее зн ачение х. С оединяя точки зн ачен ий всех средних, получаем эмпирическую линию регрессии X по у. Точка М на граф и ке с коорди натам и х у н азы вается ц ен­ тром распределения.

В торичное корреляционное поле строить н е обязательн о. Э м ­ пирические линии регрессии мож но построить и на первичном корреляционном поле, н ан еся на него условны е и общ ие средн и е зн ач ен и я ух, Ху, у, х.

Если число случаев наблю дений м ало, корреляционную т а б ­ л и ц у не составляю т, а эм пирические линии регрессии получаю т следую щ им образом. П о таблице-сводке наблю дений строят гр а фик корреляционного поля. Оси X я Y разб и ваю т на нуж ны е ин­ тер вал ы и получаю т строи по х и по у. Н ах о д ят условное ср ед ­ нее значение ух д л я каж д ого и н тервал а оси X и общ ее среднее значение всех у ! { у ). Н аносят зн ачен ия ух на гр аф и к д л я середин интервалов х и соединяю т точки лом аной линией, п олучая эм пи­ рическую линию регрессии у по х. О пределив по строям оси У условны е средние значения Ху я нанеся их на гр аф и к д л я сере­ дин интервалов у, строят эмпирическую линию регрессии х по у.

Эм пирические линии регрессии получаю тся лом аны м и, по­ этом у п роводят их сглаж иван и е, или вы равнивание, и получаю т - плавны е прям ы е линии регрессии, которы е н азы ваю тся теорети ­ ческими линиям и регрессии. Д л я наглядности они нанесены на рис. 2.1.

Теоретическую линию регрессии следует проводить после н а ­ хож ден и я уравн ен ия данной функции. В ы равн и ван ие по у р ав н е­ нию н азы вается аналитическим вы равниванием эмпирической л и ­ нии регрессии.

А п п ар ат теории корреляц ии двух перем енны х величин д л я вы числения тесноты связи и уравнений связи д ает в качестве сум м арны х характери сти к следую щ ие основные показатели :

1) средние ариф м етические зн ачен ия х я у, 2) средние квад рати ческие отклонения Ох и Оу;

3) коэф ф ициент корреляции г.

2.2. СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ЕЕ СВОЙСТВА

С редняя ариф м етическая величина яв л яется простейш ей и в то ж е врем я очень важ н ой величиной, т а к к а к яв л яется первой сводной статистической характеристикой.

С редней ариф метической величиной н азы вается сумма зн ач е­ ний п р и зн ак а (эл ем ен та), разд ел ен н ая на число этих значений:

Т а к а я средн яя ари ф м етическая н азы вается простой. Если зн ач е­ ниям X соответствую т различны е частоты т, то средн яя ари ф м е­ ти ческая зави си т не только от значений х, но и от их частот т:

Т а к а я ср едн яя н азы вается средней взвеш енной величиной, а ч а ­ стоты rrii, тг,.. тп — весами.

дельной группе или интервалу, н азы вается вариантом. Если Х\, %2, Хз,.. Хп — вари ан ты, а тх, т^,..., т * — их частоты, то взвеш ен н ая средн яя ари ф м ети ч еская равн а сумме произведений вари ан тов на их веса (или частоты ), разделенн ой на сумму С редние взвеш енны е величины мы находим при определении средних в корреляционной таб л. 2.3. Если число наблю дений ве­ лико, то расчёт средней а.рифцетической п олучается громоздким.

Его мож но упростить, используя свойства средней ариф м етиче­ ской величины.

П ервое свойство. Е сли все зн ачен ия х уменьш ить на одно и то ж е число, то и средн яя ари ф м етическая уменьш ится на это ж е число:

Ч исло а м ож ет быть каким угодно, но лучш е его б рать из сере­ дины р я д а значений х.

В торое свойство. Если все зн ачен ия х разд ел и ть на одно и то ж е число, то средн яя ари ф м етическая то ж е разд ел и тся на это ж е число:

Т ретье свойство. С редняя ари ф м етическая сум м а р ав н а сум м е средних ариф м етических, а средн яя ари ф м етическая р а з ­ ности р ав н а разности средних ариф метических:

Ч етвертое свойство. С ум м а отклонений от средней ари ф м ети ­ ческой р авн а нулю:

П ятое свойство. С ум м а квад ратов отклонений от средней ариф м етической меньщ е, чем сум ма кв ад р ато в отклонений от л ю ­ бого другого числа.

2.3. ДИСПЕРСИЯ И СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ.

ИХ СВОЙСТВА

П ри различном числе наблю дений в аж н о зн ать не только сред ­ ние величины, но и отклонения отдельны х значений от средней.

О тклонением н азы вается разн ость м еж д у отдельны м значением Xi больш е X и отрицательно, когда меньш е х. С умма всех п оло­ ж ительны х и отрицательны х отклонений от средней ари ф м етиче­ ской, согласно четвертому свойству, будет равн а нулю. П оэтому среднее отклонение н ельзя и спользовать к а к характери сти ку р а с ­ сеяния. Д л я этого вводят другой п оказател ь — дисперсию (D или (Т^), ко то р ая яв л яется средней ариф метической квад ратов откл о­ нений, устраняю щ ей влияние знаков на результат.

Д исперси я х арактери зует рассеяни е значений переменной в е­ личины около средней ариф м етической х:

Т аким образом, д л я вы числения дисперсии сн ач ал а все от­ клонения возводятся в кв ад р ат, а потом рассчиты вается средняя ари ф м етическая квадратов,отклонени й.

В аж н ой статистической характери сти кой яв л яется среднее к вад рати ч еское отклонение. С редним квадрати ческим отклон е­ нием н азы вается абсолю тное значение корня квад ратн ого из дис в м атем атической статистике среднее квадрати ческое откло­ нение часто н азы ваю т стандартн ы м отклонением или просто стан ­ дартом.

П ри норм альном распределении около Vs всех отклонений з н а ­ чений величины от ее среднего ариф м етического не превы ш аю т по абсолю тному значению среднее квад рати ч еское отклонение.

С реднее квадрати ческое отклонение Ох выборочной средней х н а ­ зы ваю т средней квадрати ческой ош ибкой или просто средней ош ибкой (то ж е и д л я у ).

Д исперсия и среднее квадрати ческое отклонение имеют сл е­ дую щ ие свойства.

1. Если все зн ачен ия п ри зн ак а увеличить или ум еньш ить на одно и то ж е число а, то на то ж е число увеличится или умень щ ится их средняя, отклонения ж е останутся без изменения. С ле­ 2: довательно, останутся без изменения и среднее к в ад р ати ч еск о е отклонение и дисперсия.

2. Если все зн ачен ия п р и зн ак а ум нож ить на одно и то ж е число k, то в k раз увеличится и их средн яя;

следовательно, в k р аз увели чатся отклонения. К вад р аты ж е отклонений увели ­ ч атся в У' р аз. Т аким образом, среднее квад рати ч еское отклон е­ ние во зр астет в k р аз, а дисперсия — в раз.

3. Если все зн ачен ия п ри зн ак а одинаковы, то они со в п ад аю т со своей средней и отклонения равны нулю. С ледовательно, и дисперсия и квад рати ч еское отклонение равн ы нулю.

4. С редний к в ад р ат отклонений значений п р и зн ак а от лю бой величины а больш е дисперсии на к в ад р ат отклонения этой в е­ личины а от среднего зн ачен ия п ри зн ак а х:

2.4. КОЭФФИЦИЕНТ ЛИНЕЙНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН

К роме средних величин х и у и средних квад рати ческих о т­ клонений (У и Оу д л я н ахож д ен и я уравнений регрессии и х а р а к ­ теристики тесноты связи необходим а ещ е одна величина, н азы в а е­ м ая коэфф ициентом линейной корреляц ии г.

Н а рис. 2.1 даны д ве прям ы е линии регрессии ^ по х и х по у. Н ап р авл ен и е этих прям ы х определяется коэффициентами:

регрессии: тангенсом угл а м еж д у прям ой регрессии у по х ж о с ь ю и и тангенсом угла м еж д у прям ой регрессии х по у и о сью V. О бозначим эти углы соответственно а и р, тогда коэф ф ициен­ там и регрессии будут t g a и t g p. В уравн ен иях у — а х - \ - Ь и x = ay+ b, a = ig a, a= ig% К оэф ф ициенты регрессии могут быть оба или п олож ительн ы м и или отрицательны м и. В общ ем случае эти д ве прям ы е регрессии не совпадаю т. Они совпадут, если связь м еж д у у я х будет ф унк­ циональной, т. е. угол ф м еж д у прям ы м и равен нулю.

П о углу ф м еж ду прям ы м и регрессии мож но судить о тесн оте связи м еж д у у и х. Чем больш е угол ф, тем сл аб ее связь, и чем:

б ли ж е угол ф к нулю, тем связь б ли ж е к функциональной.

Е сли связи м еж ду величинами нет, то у м ало изм еняется при:

изменении л:, и наоборот. В этом случае а и р близки к нулю и в пределе t g a t g P = 0.

К орень квад р атн ы й из числа tg а tg р принимаю т за критерий:

степени близости корреляционной связи к линейной ф ун кц ион аль­ ной зависим ости и н азы ваю т коэф ф ициентом корреляц ии двух.

перем енны х величин х п. у:

коэф ф ициенты регрессии а и а, соответственно равн ы t g a и t g p, коэф ф ициент корреляц ии равен т. е. коэфф ициентом линейной корреляц ии яв л яется среднее гео­ м етрическое значение коэф ф ициентов регрессий.

П ри г О обе прям ы е регрессии г/ по д: и х по г/ проходят через центр распределени я М { х, у ) и образую т остры е углы с п о -, лож и тельны м и н ап равлен иям и осей X и F. В этом случае ко р р е­ л яц и я полож ительн ая, т а к к а к с увеличением одной величины в о зр астаю т соответственно условны е средние другой.

П ри г = 0 в случае независим ости величин х я у п р ям ая ре­ грессии у по X п ар ал л ел ь н а оси X, а п р ям ая регрессии х по г/ п а ­ р а л л е л ь н а оси Y. С ледовательно, угол м еж ду этими прям ы м и р а ­ вен 90°. С увеличением г н аклон каж д ой из прям ы х к соответст­ вую щ ей оси координат возрастает, а угол м еж д у п рям ы м и ум ень­ ш ается.

П ри г = 1 обе прям ы е сливаю тся в одну, в этом случае за в и ­ симость будет функциональной.

П ри г ;

О п рям ы е регрессии п роходят через точку М {х, у) я о бразую т тупые углы с полож ительны м и н ап равлен иям и осей координат. Угол ф м еж д у прям ы м и остры й и всегда убы вает П ри г = — 1 обе прям ы е сливаю тся в одну, это с л /ч а й обратной линейной функциональной зависим ости одной величины от другой.

Т аким образом, коэф ф ициент корреляц ии яв л яется б езр азм ер ­ ны м и изм ен яется в пределах — 1 г ^ 1.

К ром е формулы (2.10), имеется ещ е ряд формул д л я расчета коэф ф и ци ен та корреляции г, где г в ы р а ж ае тся через средние в е ­ личи ны X, г/ и средние квад рати ческие отклонения Ох, Оу.

И звестно следую щ ее в ар аж ен и е д л я расчета коэффициентов Зн ам ен ател и -о б о и х вы раж ен и й обозначаю т соответствую щ ие д ис­ персии:

отк у д а имеем простую ф орм улу д л я г, вы раж енную через — Z х у / п \ х н у 'соответственно средние ариф м етические п ри зн а­ ков X я у, Ох я 02/ — средние квадратич'еские отклонения, най ден ­ ные соответственно по п ри зн ак ам х я у.

П р едставив а* и сГу в виде чета г\ И з (2.15) видно, что м еж д у независим ы м и величинами ко р р е­ л яц и и не сущ ествует, т а к _ к а к, д л я так и х величин в ы п ол н яется равенство х у = х у.

У к аза н н ая вы ш е ф орм ула д л я расчета г позволяет в ы р ази ть каж д ы й коэф ф ициент регрессии через коэф ф ициент корреляц ии.

В случае регрессии у яо х й случае регрессии х по у Т а к и м 'о б р а зо м, н ахож дение уравнений регрессии будет облег­ чено, если найдем зн ачен ия г, а* я о у.

Д л я этого необходимо найти Тогда У множ ив числитель и зн ам ен ател ь (2.19) на ri^, получим Н есм отря на гром оздкий вид, ф орм ула (2.20) удобна д л я р а с ­ четов, особенно при пользовании счетной маш иной.

П о приведенным ф орм улам д л я расчета г вы числяю т коэф ­ ф ициент корреляции д л я несгруппированны х данны х. Д л я н а ­ х ож ден и я коэф ф ициента корреляции по ф орм улам 2.19 и 2..дополнительно строят табли цу, аналогичную таб л. 2.4, по кото­ рой удобно проводить расчеты.

П ри об раб отке статистических величин с помощью вы числи­ тельной маш ины таб л. 2.4 п ерестраи ваю т подобно таб л. 2.4а.

П о так о м у ж е типу при расчете на счетной м аш ине п ерестраи ­ ваю тся и остальны е табли цы, когда мож но ср азу получить р а з ­ личны е необходимы е степени величин и их суммы, а т а к ж е про­ изведения величин и сум му произведений.

П ри больш их зн ачен иях х я у расчет г по приведенным вы ш е ф орм улам становится гром оздким, т а к к а к использую тся п роиз­ ведение х у и их к вад раты. П оэтом у более удобно при несгруппи­ рованны х дан ны х использовать д л я расчета г ф ормулу, где учи­ ты ваю тся не сам и величины, а их отклонения от средней, что по­ зв о л яет проводить действия с меньш ими числам и, чем сам и ве­ личины.

П роведем некоторы е п реоб разован и я в (2.13):

под зн ако м суммы, п реобразуем его:

получим ф орм улу д л я расчета г, где использую тся не сам и в е­ личины, а их отклонения от средних:

_ п ^ О бозначив отклонения х — х через Ах, а у — у через Дг/, по­ лучим Ф орм ула (2.22) д л я практического и спользования несгруппи­ рованны х дан ны х яв л яется наиболее удобной. Д л я расчета г по ф орм улам (2.22) строит табли цу, аналогичную таб л. 2.5.

Д л я расчетов г мож но и спользовать ф орм улу П ирсона в ар и ац и ей, или первым моментом произведений [хц.

П онятие мом ента в м атем атической статистике зан и м ает в а ж ­ ное место. Ц ентральн ы м моментом статистической величины н а ­ зы в а е т с я сум м а п роизведений тех или иных степеней отклонений X от X или I/ от / на соответствую щ ую частоту ( т ), д ел ен н ая на су м м у всех частот:

В торой центральны й момент ([хг) яв л яется дисперсией, а пер­ в ы й центральны й момент (|Xi) — средним отклонением от сред­ ней ариф м етической величины.

Ф орм ула коэф ф ициента корреляции, в ы р аж ен н ая через м о­ м енты, будет иметь следую щ ий вид;

Е сли д ан ны е сгруппированы в корреляционную таб л и ц у по частотам тху, то г рассчиты вается по следую щ им ф орм улам : в числителе ф орм улы (2.25) мож но провести зам ену:

чета ф орм улу М ы привели р яд встречаю щ ихся в л и тер ату р е форм ул д л я вы числения коэф ф ициента корреляц ии д л я несгруппированны х к сгруппированны х данны х. В ы бор той или иной форм улы зав и си т от м атер и ал а наблю дений и количества данны х. П оэтом у п р е­ ж д е чем приступить к расчетам, необходимо, учиты вая техниче­ скую сторону расчетов, вы брать ту ф орм улу д л я определения г,, ко то р ая д аст менее гром оздкие расчеты.

2.5. СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ

П ер во е свойство. К оэф ф ициент корреляц ии не изменится, если из всех значений х w у вычесть какие-нибудь п остоян н ы е а и & и полученные резу л ьтаты разд ел и ть на какие-то постоянны е й и t (это свойство основано на свойствах среднего ариф м етического и дисперсии):

И н ач е говоря, коэф ф ициент корреляц ии не изменится, е(сли от п ервоначальны х значений х и г/ перейти к новым условны м зн ачен иям х ' и г/':

т а к к ак Шху = тх'у', то Т. е.

Н а этом свойстве основан упрощ енный метод вычислений ко ­ эф ф и ц и ен та к о р р е л я ц и и — метод группировки, которы й приведен :в р азд ел е 2.8.

Д ан н о е свойство мож но т а к ж е сф орм улировать следую щ им ю бразом: линейны е п реобразован ия, сводящ иеся к изменению м а с­ ш т а б а или н ач ал а отсчета переменны х величин, не изм еняю т ко ­ эф ф ициента корреляции м еж ду ними.

В торое свойство. А бсолю тное значёние коэф ф ициента ко р р е­ л я ц и и не превосходит единицы:

Т ретье свойство. П ри линейной ф ункциональной связи м еж ду.величинами г = ± \. В этом случае прям ы е регрессии у по х и д:

по у совпадаю т.

Ч етвертое свойство. Ч ем б ли ж е [г] к единице, тем теснее.'Прямолинейная корреляц ия м еж д у величинам и х н у.

П ятое свойство. Если регрессия у по х лин ейн ая и коэф ф и ­ циент корреляц ии равен нулю, то все групповы е средние {ух) со.впадаю т и равны общ ей средней {у) переменной у. В этом слу­ ч ае м еж ду у п X линейной корреляц ии нет и п рям ы е регрессии п ар ал л ел ьн ы осям координат.

О днако, когда г = 0, м еж ду у п х в о зм о ж н а нелинейная корре­ л я ц и я, не исклю чаю тся и нелинейны е ф ункциональны е связи. Т а ­ ким образом, оценивая связь только по одному коэф ф ициенту корреляц ии г, надо быть осторож ны м. Если г = 0, это ещ е не -означает, что связи нет, связь м ож ет быть нелинейной, которая не учиты вается коэффициентом корреляции.

Считаю т, что величины достаточно связаны, если г 0,6. О д­ нако мож но говорить о связи и при г 0,6 если связь мож но объяснить физическими иричинами.

П ри физически обоснованной связи приведенны е свойства ко ­ эф ф и ц и ен та корреляции позволяю т считать его достаточно н а ­ деж н ой мерой тесноты связи в условиях линейной корреляции.

П рави л ьн о е ж е истолкование его при криволинейной корреляции п р ед ставл яет нелегкую зад ач у. Д л я изм ерения тесноты кри воли ­ нейной связи пользую тся корреляционны м отнош ением. В то : вр ем я к а к корреляционное отнош ение не зависит'^от форм ы кри ­ вы х регрессии, коэф ф ициент корреляц и и г сущ ественно зави си т о т того, в какой м ере линии регрессии отличаю тся от прямы х.

МЕЖДУ ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

П осле определения коэф ф ициента корреляц ии г и устан овл е­ н ия линейной корреляционной связи н аход ят п арам етры у р ав н е­ ний этой связи. О бщ ий вид этих уравнений:

И з аналитической геометрии известно, что если прям ы е про­ х о д я т через некоторую точку с коорди натам и х и г/, то у р ав н е­ н и я этих прям ы х регрессии имею т вид К а к у казы в ал о сь в н ач ал е этой главы, коэф ф ициенты а\ и «2 н азы ваю тся коэф ф ициентам и линейной регрессии, а у р ав н е­ н и я — уравн ен иям и регрессии.

В преды дущ ем р азд ел е бы ла рассм отрена связь м еж д у коэф ­ ф ициентом корреляц ии г и коэф ф ициентам и регрессии ai и а^.

К оэф ф ициенты регрессии в уравн ен и ях линейной связи двух лерем ен ны х равны Т аким о б р азо м, вычислив средние ариф м етические зн ачен ия X V у, средние квад рати ч ески е отклонения 0» и сГу и коэф ф ициент ко р р еляц и и г, путем реш ения уравнений связи вида м ож ем вычислить п арам етры а, ai, Ь, bi уравнений П о этим п ар ам етр ам мож но будет в зависим ости от изменений одной величины получать наиболее вероятное зн ачение другой.

Обычно при определении зависим ости одной величины от д р у ­ гой н ах о д ят только одно уравн ен ие у = а х Ь, однако если н е­ обходим о установить зависим ость х от у, то рассчиты ваю т и вто­ р о е уравн ен ие х = а: i г/--}-&ь

КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ. СРЕДНЯЯ ОШИБКА

УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

П ри исследовании корреляционной связи переменны х вел и ­ чин д а ж е при больш ом числе наблю дений мы имеем дело с вы ­ борочной совокупностью величин из генеральной совокупности р.

Г енеральной совокупностью р мож но считать все те наблю - дения, которы е теоретически мож но было бы сделать, и зучая взаи м освязь двух или нескольких явлений. П ракти чески получить генеральную совокупность при бесконечном числе членов ч асто бы вает невозм ож но и з-за гром оздкости расчетов. Обычно имею т дело с выборочной совокупностью, т. е. когда число наблю дений п значительно меньш е, чем могло быть при генеральной совокуп­ ности.

П оэтом у в аж н о зн ать отличие вы борочны х коэф ф ициентов корреляции й вы борочны х коэффициентов уравнений регрессии от аналогичны х величин генеральной совокупности. П ри очень больш ой вы борке зн ачен ия этих величин могут м ало р а зл и ­ чаться.

В м атем атической статистике сущ ествует так о е полож ение:

с вероятностью, близкой к единице, мож но утверж д ать, что при достаточно больш ом объем е вы борки п выборочны й коэф ф ициент линейной корреляции Гв м ало отличается от аналогичного гене­ рального коэф ф ициента корреляц ии Гг.

С ред н яя квад р ати ч еск ая ош ибка коэф ф ициента корреляции Ог при зам ен е генерального коэф ф ициента корреляции Гг вы бороч­ ным Гв равн а а ^ = ± —;

-------- (для малых и средних значений г). (2.32) С вероятностью 0,954 считаю т, что случ ай ная ош ибка не бу­ дет превы ш ать 20г, т. е.

П осле расчета стг н аходят отнош ение г/сг^. Если г 1 0 г 3 при числе наблю дений больш е 50, то мож но считать, что полученный выборочны й коэф ф ициент корреляции н ад еж ен и о то б р аж ает ис­ комую связь.

В еличина г — За^ явл5}ется гарантийны м минимумом, а вел и ­ чина Г + 30Г — гарантийны м м аксимумом коэф ф ициента к о р р е л я­ ции, т. е.

- К роме средней квадрати ческой ош ибки коэф ф ициента корре­ л яц и и 0г мож но вы числять вероятную ош ибку коэф ф ициента кор­ рел яц и и Ег, ко то р ая составл яет 0,67аг:

В ероятное значение коэф ф ициента корреляц ии зак л ю ч ен о, в п ред елах г ± Е г, а предельное зн ачение близко к r ± i E ^. Если г АЕг, то связь д о к азан а.

Е сли вы борка м а л а (м еньш е 50), то рассчиты вать средние ош и бки по указан ны м ф орм улам не реком ендуется, в так и х слу­ ч ая х следует оценивать корреляцию с помощ ью критерия Ф иш ера 132] В ы р а ж а я (2.34) через десятичны е логариф м ы, получим Р ассчи тав z, м ож но найти ее ош ибку по ф ормуле где п — объём выборки.

К ром е Oz, вы числяю т ещ е вероятное отклонение Д опустим, что ко эф ф и ц и ен т-к о р р ел яц и и г = 0,62. Т огда, ис­ пользовав ф орм улы (2.35) — (2.37), мож но рассчитать z, Oz и pz:

2 = 0,725, 0 z = 0,123, рг = 0,083.

О пределяем и нтервал изм енения z;

верхней и ниж ней гран и цам 2 находим границы изм ене­ = 0,54 — н и ж н яя гран и ца, т. е. г = П ри корреляционной связи, где к аж д о м у значению Xi соответ­ ствует р яд значений yj, вычисленное по уравнению yi, будет о т­ л и ч аться от к аж д о го 'значения yi того р яд а, которое -соответство­ вал о значению Xi при наблю дениях.

З н а я зн ачение х, п о д став л яя его в уравнение, получаем у с ош ибкой или с отклонением от дан ны х наблю дений, т. е. по 0,95709 0, 2.0 0,96473, 0,96541 0,96609 0, зависимости от значений функции лучаем, к а к говорилось ранее, средню ю величину г/,- при з а д а н ­ ном значении Xi. Н ахож ден и е этой ош ибки позволит судить о том, насколько рассеяны точки корреляционного поля относительно линии прям ой регрессии.

С редняя квад р ати ч еск ая ош ибка уравнений дегрессии у по х V X по у м ож ет быть получена по соответствую щ им ф орм улам :

З д есь Gy и Gx — средние квад рати ческие отклонения от средних ариф м етических величин:

г — коэф ф ициент корреляц ии м еж д у х и г/.

нения регрессии д аю т точны е зн ачен ия у по х и х по у, т. е. м е­ ж д у величинам и им еется лин ейн ая ф ун кц ион альн ая связь.

М ак си м ал ь н ая ош ибка уравн ен ия регрессии в три р а з а больш е средней ош ибки:

С редние квад р ати ч ески е ош ибки выборочны х коэф ф ициентов регрессии ai и a% в ы р аж аю тся следую щ ими ф орм улам и:

Т аким о б разом, чем больш е число наблю дений п и коэф ф и ­ циент корреляц ии г, тем меньш е ош ибки коэф ф ициента к о р р е л я­ ции, коэффициентов регрессии и уравн ен и я регрессии.

2.8. ПРИМЕР РАСЧЕТА УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗИ

МЕЖДУ ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

ПО СГРУППИРОВАННЫМ ДАННЫМ (СВЯЗЬ МЕЖДУ ЗАПАСАМИ

ПРОДУКТИВНОЙ ВЛАГИ В РАЗЛИЧНЫХ СЛОЯХ ПОЧВЫ)

К огда число случаев пар наблю дений велико (больш е 100), нахож ден и е уравнений связи и вычисление коэф ф ициентов корре­ ляц и и д л я ум еньш ения гром оздкости расчетов п роводят способом группировки данны х. П ри этом учиты ваю т веса или частоты д а н ­ ных величин по корреляционной таблице.

в р азд ел е 2.1 приведены прим еры построения корреляционного поля и корреляционной табли цы д л я расчета уравн ен ия связи м е­ осенью под озимой пшеницей.

Т аб ли ц а 2.3 нам необходим а бы ла д л я построения эм пириче­ ских линий регрессии.(рис. 2.2). Д л я н ахож ден и я уравн ен ия д а н ­ ной связи и теоретической линии регрессии у = а х + Ь способом группировки данны х по частотам используем этот ж е пример, но несколько видоизменим корреляционную таблицу, дополнив ее граф ам и, необходимы ми д л я расчета коэф ф ициента корреляции и уравн ен ия регрессии (табл. 2.7).

Р асчеты проводят следую щ им образом.

В данном прим ере мы имеем 135 случаев парны х наблю дений за зап асам и влаги в Слоях почвы О— 20 и 20— 50 см. О бозначаем через X зап асы вл аги в слое л о ч в ы О— 20 см, а через у — зап асы влаги в слое почвы 20— 50 см. Р азб и в ае м ряд значений х и г/ на и нтервалы по 5 мм (и н тервалы берутся произвольно и могут быть разн ы м и д л я х и д л я у ), зап и сы ваем средние зн ачен ия этих интервалов в гр аф а х таблицы. З атем подсчиты ваем число случаев парны х наблю дений за зап ас ам и влаги, попадаю щ их в соответст­ вую щ ие интервалы, т. е. находим частоту повторения у по д а н ­ ному интервалу х и наоборот. Д ел ать это прощ е с помощ ью г р а ­ ф ика корреляционного поля, к а к было излож ено в р азд ел е 2.1.

В ерти кальн ы е столбцы д ад у т нам число частот (шх) р азл и ч ­ ных значений у по каж д о м у данном у интервалу х, а гори зон тал ь­ ные столбцы — число частот ( т у ) различны х значений х по к а ж ­ дом у и нтервалу у. Б олее подробно о построении этой части корре­ ляционной таб л и ц ы написано в р азд ел е 2.1.

С огласно первом у свойству, коэф ф ициент линейной к о р р е л я­ ции г остается неизменным, если от п ервоначальны х значений х О бозначим средние горизонтальны е и верти кальн ы е столбцы через О, т. е. примем их за начальны е. С ледую щ ие от них столбцы вправо и влево (д ля верти кальн ы х) и вверх и вниз (для гори зон ­ тальн ы х) по мере в озрастан и я значений х или у будем о б о зн а­ чать 1, 2 и т. д, а по мере убы ван и я — 1, — 2 и т. д. Т аким о б р а ­ зом, за условную единицу принимаем один и нтервал значений х или у, равны й пяти действительны м единицам.

В данном случае за н ачальн ы е столбцы д л я х и г/ примем средние столбцы с и н тервалам и 20— 25 мм и обозначим их ч е­ рез 0. Соседние столбцы, где значения х и ^ возрастаю т, о б озн а­ чим через 1, 2 и т. д., а столбцы, где значения убы ваю т,— через Т аким образом, за н ачало отсчета мы взял и хо = 22,5 мм и уо = 22,5 мм, обозначив их через х ' = 0 и у ' = 0.

П рисвоив горизонтальны м и вертикальны м столбцам условны е значения, переходим к дальнейш им расчетам корреляционной Корреляционная таблица для расчета уравнения связи между запасами влаги в различных слоях почвы табли цы, необходимы м д л я нахрж ден и я г и уравн ен ия связи у = = ах+Ь.

Н аходим суммы частот ту и Шх, записанны х соответственно в горизонтальны х и верти кальн ы х столбцах;

обозначает сум му частот разли чн ы х значений х д л я данного постоянного ин­ т ер в ал а у, а тх — сум му частот различны х значений у д л я д а н ­ ного постоянного и н тервал а х. С ум м а всех значений тх, т а к ж е к а к и сум м а всех значений т у д о л ж н а быть р авн а общ ем у числу случаев п. В наш ем прим ере Y, Шх = Т. m y = n = lZ5.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
 




Похожие материалы:

«V bt J, / ' • r лАвНбЕ У П РА В Л Е Н И Е Г И Д Р О М Е Т Е О Р О Л О Г И Ч Е С К О Й С ЛУ Ж БЫ П Р И СОВЕТЕ М И Н И С ТРО В СССР Ц Е Н Т Р А Л Ь Н Ы Й И Н С Т И Т У Т П РО Г Н О З О В с. У Л А Н О В А Е. Применение математической статистики в агрометеорологии для нахождения уравнений связей сч БИБЛИОТЕК А Ленинградского Г идрометеоролог.ческого Ии^с,титута_ Г И Д РО М Е Т Е О РО Л О Г И Ч Е С К О Е И ЗД А Т Е Л Ь С Т В О (О Т Д Е Л Е Н И Е ) М осква — УДК 630:551.509. АННОТАЦИЯ В книге в ...»

«ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА РОССИИ ПО ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИИ И МОНИТОРИНГУ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ ГЛАВНАЯ ГЕОФИЗИЧЕСКАЯ ОБСЕРВАТОРИЯ им. А. И. ВОЕЙКОВА Е. Н. Романова, Е. О. Гобарова, Е. Л. Жильцова МЕТОДЫ МЕЗО- И МИКРОКЛИМАТИЧЕСКОГО РАЙОНИРОВАНИЯ ДЛЯ ЦЕЛЕЙ ОПТИМИЗАЦИИ РАЗМЕЩЕНИЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ КУЛЬТУР С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕХНОЛОГИИ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО РАСЧЕТА Санкт -Петербург ГИДРОМЕТЕОИЗДАТ 2003 УДК 551.58 Данная книга посвящена методам мезо- и микроклиматического райониро вания на основе новых ...»

«В. Г. Бешенцев В. И. Завершинский Ю. Я. Козлов В. Г. Семенов А. В. Шалагин Именной справочник казаков Оренбургского казачьего войска, награжденных государственными наградами Российской империи Первый военный отдел Челябинск, 2012 Именной справочник казаков ОКВ, награжденных государственными наградами Российской империи. Первый отдел УДК 63.3 (2)-28-8Я2 ББК 94(47) (035) И51 На полях колхозных, после вспашки, На отвалах дёрна и земли, Мы частенько находили шашки И покорно в кузницу несли… Был ...»

«С.Н. ЛЯПУСТИН П.В. ФОМЕНКО А.Л. ВАЙСМАН Незаконный оборот видов диких животных и дикорастущих растений на Дальнем Востоке России Информационно-аналитический обзор Владивосток 2005 ББК 67.628.111.1(255) Л68 Оглавление Предисловие 5 Ляпустин С.Н., Фоменко П.В., Вайсман А.Л. Незаконный оборот животных и растений, попадающих под требова Л98 Незаконный оборот видов диких животных и дикорастущих расте- ния Международной конвенции по торговле видами фауны и флоры, ний на Дальнем Востоке России. ...»

«НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ ЛИТЕРАТУРА Серия Из истории мировой культуры Л. С. Ильинская ЛЕГЕНДЫ И АРХЕОЛОГИЯ Древнейшее Средиземноморье Ответственный редактор доктор исторических наук И. С. СВЕНЦИЦКАЯ МОСКВА НАУКА 1988 доктор исторических наук Л. П. МАРИНОВИЧ кандидат исторических наук Г. Т. ЗАЛЮБОВИНА Ильинская Л. С. И 46 Легенды и археология. Древнейшее Средиземно­ морье / М., 1988. 176 с. с пл. Серия Из истории мировой культуры. ISBN 5 -0 2 -0 0 8 9 9 1 -5 В книге рассказано не только о подвигах, ...»

«ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ ЭТИКА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОРНО-АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра геоэкологии и природопользования И. А. Ильиных Экологическая этика Учебное пособие Горно-Алтайск, 2009 2 Печатается по решению методического совета Горно-Алтайского госуниверситета ББК – 20.1+87.75 Авторский знак – И 46 Ильиных И.А. Экологическая этика : учебное пособие. – Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2009. – ...»

«ЗАПОВЕДНИК ЯГОРЛЫК ПЛАН РЕКОНСТРУКЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ КАК ПУТЬ СОХРАНЕНИЯ БИОЛОГИЧЕСКОГО РАЗНООБРАЗИЯ Eco-TIRAS Дубоссары – 2011 ЗАПОВЕДНИК ЯГОРЛЫК ПЛАН РЕКОНСТРУКЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ КАК ПУТЬ СОХРАНЕНИЯ БИОЛОГИЧЕСКОГО РАЗНООБРАЗИЯ Eco-TIRAS Дубоссары – 2011 CZU: 502.7 З 33 Descrierea CIP a Camerei Naionale a Crii Заповедник Ягорлык. План реконструкции и управления как путь сохранения биологического разнообразия / Международная экол. ассоциация хранителей реки „Eco-TIRAS”. ; науч. ред. Г. А. Шабановa. ...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УФИМСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Институт геологии Башкирский государственный аграрный университет Р.Ф. Абдрахманов ГИДРОГЕОЭКОЛОГИЯ БАШКОРТОСТАНА Уфа — 2005 УДК 556.3 (470.57) АБДРАХМАНОВ Р.Ф. ГИДРОГЕОЭКОЛОГИЯ БАШКОРТОСТАНА. Уфа: Информреклама, 2005. 344 с. ISBN В монографии анализируются результаты эколого гидрогеологичес ких исследований, ориентированных на охрану и рациональное ис пользование подземных вод в районах деятельности нефтедобывающих, горнодобывающих, ...»

«Дуглас Адамс Путеводитель вольного путешественника по Галактике Книга V. В основном безобидны пер. Степан М. Печкин, 2008 Издание Трансперсонального Института Человека Печкина Mostly Harmless, © 1992 by Serious Productions Translation © Stepan M. Pechkin, 2008 (p) Pechkin Production Initiatives, 1998-2008 Редакция 4 дата печати 14.6.2010 (p) 1996 by Wings Books, a division of Random House Value Publishing, Inc., 201 East 50th St., by arrangement with Harmony Books, a division of Crown ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Костромской государственный технологический университет Костромское научное общество по изучению местного края В.В. Шутов, К.А. Миронов, М.М. Лапшин ГРИБЫ РУССКОГО ЛЕСА Кострома КГТУ 2011 2 УДК 630.28:631.82 Рецензенты: Филиал ФГУ ВНИИЛМ Центрально-Европейская лесная опытная станция; С.А. Бородий – доктор сельскохозяйственных наук, профессор, декан факультета агробизнеса Костромской государственной сельскохозяйственной академии Рекомендовано ...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КОЛЬСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Полярно-альпийский ботанический сад-институт им. Н. А. Аврорина О.Б. Гонтарь, В.К. Жиров, Л.А. Казаков, Е.А. Святковская, Н.Н. Тростенюк ЗЕЛЕНОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО В ГОРОДАХ МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ АПАТИТЫ 2010 RUSSION ACADEMY OF SCIENCES KOLA SCIENCE CENTRE N.A. Avrorin’s Polar Alpine Botanical Garden and Institute O.B. Gontar, V.K. Zhirov, L.A. Kazakov, E. A. Svyatkovskaya, N.N. Trostenyuk GREEN BUILDING IN MURMANSK REGION Apatity Печатается по ...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ОТДЕЛЕНИЕ БИОЛОГИЧЕСКИХ НАУК ГОРНЫЙ БОТАНИЧЕСКИЙ САД РОЛЬ БОТАНИЧЕСКИХ САДОВ В ИЗУЧЕНИИ И СОХРАНЕНИИ ГЕНЕТИЧЕСКИХ РЕСУРСОВ ПРИРОДНОЙ И КУЛЬТУРНОЙ ФЛОРЫ Материалы Всероссийской научной конференции 1-5 октября 2013 г. Махачкала 2013 1 Материалы Всероссийской научной конференции УДК 58.006 Ответственный редактор: Садыкова Г.А. Материалы Всероссийской научной конференции Роль ботанических садов в изучении и сохранении генетических ресурсов природной и куль турной флоры, ...»

«Зоны, свободные от ГМО Экологический клуб Эремурус Альянс СНГ За биобезопасность Москва, 2007 Главный редактор: В.Б. Копейкина Авторы: В.Б. Копейкина (глава 1, 3, 4) А.Л. Кочинева (глава 1, 2, 4) Т.Ю. Саксина (глава 4) Перевод материалов: А.Л. Кочинева, Е.М. Крупеня, В.Б. Тихонов, Корректор: Т.Ю. Саксина Верстка и дизайн: Д.Н. Копейкин Фотографии: С. Чубаров, Yvonne Baskin Зоны, свободные от ГМО/Под ред. В.Б. Копейкиной. М. ГЕОС. 2007 – 106 с. В книге рассматриваются вопросы истории, ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО Тамбовский государственный технический университет В.П. КАПУСТИН, Ю.Е. ГЛАЗКОВ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЕ МАШИНЫ НАСТРОЙКА И РЕГУЛИРОВКА Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по агроинженерному образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению Агроинженерия Тамбов Издательство ТГТУ 2010 УДК 631.3.(075.8) ББК ПО 72-082я73-1 К207 Рецензенты: Доктор ...»

«Н.Ф. ГЛАДЫШЕВ, Т.В. ГЛАДЫШЕВА, Д.Г. ЛЕМЕШЕВА, Б.В. ПУТИН, С.Б. ПУТИН, С.И. ДВОРЕЦКИЙ ПЕРОКСИДНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ КАЛЬЦИЯ СИНТЕЗ • СВОЙСТВА • ПРИМЕНЕНИЕ Москва, 2013 1 УДК 546.41-39 ББК Г243 П27 Рецензенты: Доктор технических наук, профессор, заместитель директора по научной работе ИХФ РАН А.В. Рощин Доктор химических наук, профессор, заведующий кафедрой общей и неорганической химии ФГБОУ ВПО Воронежский государственный университет В.Н. Семенов Гладышев Н.Ф., Гладышева Т.В., Лемешева Д.Г., Путин ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Тихоокеанский государственный университет Дальневосточный государственный университет О. М. Морина, А.М. Дербенцева, В.А. Морин НАУКИ О ГЕОСФЕРАХ Учебное пособие Владивосток Издательство Дальневосточного университета 2008 2 УДК 551 (075) ББК 26 М 79 Научный редактор Л.Т. Крупская, д.б.н., профессор Рецензенты А.С. Федоровский, д.г.н., профессор В.И. Голов, д.б.н., гл. науч. сотрудник М 79 Морина О.М., ...»

«ГРАНТ БРФФИ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ОО БЕЛОРУССКОЕ ГЕОГРАФИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО БЕЛОРУССКИЙ РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ФОНД ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЛАНДШАФТОВЕДЕНИЯ И ГЕОЭКОЛОГИИ (к 100-летию со дня рождения профессора В.А. Дементьева) МАТЕРИАЛЫ IV Международной научной конференции 14 – 17 октября 2008 г. Минск 2008 УДК 504 ББК 20.1 Т338 Редакционная коллегия: доктор географических наук, профессор И.И. Пирожник доктор географических наук, ...»

«Санкт-Петербургский государственный университет Биолого-почвенный факультет Кафедра геоботаники и экологии растений РАЗВИТИЕ ГЕОБОТАНИКИ: ИСТОРИЯ И СОВРЕМЕННОСТЬ Материалы Всероссийской конференции, посвященной 80-летию кафедры геоботаники и экологии растений Санкт-Петербургского (Ленинградского) государственного университета и юбилейным датам ее преподавателей (Санкт-Петербург, 31 января – 2 февраля 2011 г.) Санкт-Петербург 2011 УДК 58.009 Развитие геоботаники: история и современность: сборник ...»

«ФЮ. ГЕАЬЦЕР СИМТО СИМБИОЗ С МИКРООРГАНИЗМАМИ- С МИКРООРГАНИЗМАМИ ОСНОВА ЖИЗНИ РАСТЕНИЙ РАСТЕНИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВО МСХА ИЗДАТЕЛЬСТВО МСХА МОСКВА 1990 МОСКВА 1990 Ф. Ю. ГЕЛЬЦЕР СИМБИОЗ С МИКРООРГАНИЗМАМИ — ОСНОВА Ж И З Н И Р А С Т Е Н И И ИЗДАТЕЛЬСТВО МСХА МОСКВА 1990 Б Б К 28.081.3 Г 32 УДК 581.557 : 631.8 : 632.938.2 Гельцер Ф. Ю. Симбиоз с микроорганизмами — основа жизни рас­ тении.—М.: Изд-во МСХА, 1990, с. 134. 15В\Ы 5—7230—0037—3 Рассмотрены история изучения симбиотрофного существования рас­ ...»






 
© 2013 www.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.